Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(e) sumn=2^infty n-4n^2-2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Integral ou o Teste da -série, que são métodos para analisar séries harmônicas. Vamos precisar simplificar a expressão e escolher o teste mais adequado para aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Observando o denominador, podemos fatorar:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração para valores grandes de . Quando é muito grande, os termos de menor grau no numerador e denominador têm menos impacto. Assim, podemos aproximar:
Isso sugere que a série se comporta de maneira semelhante à série harmônica , que sabemos ser divergente.

Passo 4

Para confirmar isso, vamos usar o Teste da -série. Esse teste diz que a série converge se e diverge se . No nosso caso, a série comparável é , onde .

Passo 5

Como não é maior que 1, o Teste da -série nos diz que a série é divergente. Já que a nossa série original se comporta de maneira semelhante para grandes , podemos concluir que ela também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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