Utilize o teste da integral ou o teste da
-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Integral ou o Teste da
-série, que são métodos para analisar séries harmônicas. Vamos precisar simplificar a expressão e escolher o teste mais adequado para aplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Observando o denominador, podemos fatorar:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração para valores grandes de
. Quando
é muito grande, os termos de menor grau no numerador e denominador têm menos impacto. Assim, podemos aproximar:
Isso sugere que a série se comporta de maneira semelhante à série harmônica
, que sabemos ser divergente.
Passo 4
Para confirmar isso, vamos usar o Teste da
-série. Esse teste diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso, a série comparável é
, onde
.
Passo 5
Como
não é maior que 1, o Teste da
-série nos diz que a série
é divergente. Já que a nossa série original se comporta de maneira semelhante para grandes
, podemos concluir que ela também diverge.
Resposta
A série
é divergente.