Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério de Leibniz para verificar se a série
converge. O Critério de Leibniz é usado para testar a convergência de séries alternadas, ou seja, aquelas que têm termos com sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série está na forma
, onde
. O Critério de Leibniz diz que, para que a série converja, duas condições precisam ser satisfeitas:
- Monotonicidade Decrescente: A sequência
deve ser decrescente, ou seja, para todo . - Limite Zero: O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se
é decrescente. Observando
, podemos simplificar para
. À medida que
aumenta,
também aumenta, o que faz com que
diminua. Portanto,
é uma sequência decrescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite de
quando
tende ao infinito. Calculamos:
Porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador permanece constante.
Passo 5
Como ambas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas — a sequência
é decrescente e seu limite é zero — podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge segundo o Critério de Leibniz.