Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
[3] sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério de Leibniz para verificar se a série converge. O Critério de Leibniz é usado para testar a convergência de séries alternadas, ou seja, aquelas que têm termos com sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série está na forma , onde . O Critério de Leibniz diz que, para que a série converja, duas condições precisam ser satisfeitas:
  1. Monotonicidade Decrescente: A sequência deve ser decrescente, ou seja, para todo .
  2. Limite Zero: O limite de quando tende ao infinito deve ser zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se é decrescente. Observando , podemos simplificar para . À medida que aumenta, também aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, é uma sequência decrescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite de limn to infty n^2n^3+4 = limn to infty 1n + 4n^2 = 0 quando tende ao infinito. Calculamos:
Porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador permanece constante.

Passo 5

Como ambas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas — a sequência é decrescente e seu limite é zero — podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge segundo o Critério de Leibniz.

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