Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para mudar a ordem de integração. O enunciado é:
Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a troca da ordem de integração, que pode simplificar bastante o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que
varia de 0 a 2 e, para cada
,
varia de
a 2. Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no plano
, delimitada pelas linhas
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de
variar de 0 a 2 e
de
a 2, vamos deixar
variar primeiro. Observando a região, para cada
,
varia de 0 até
. Além disso,
varia de 0 a 2.
Passo 4
Com a nova ordem de integração, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar para fora da integral:
Agora, substituímos na integral externa:
Fazendo a substituição
, então
, o que nos dá
. Os limites de integração para
serão de 1 a
.
Substituindo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Exercício 3 Calcule:
b) , em que
é o segmento de reta que vai do ponto
para o ponto
.
b)
Exercício 9 Supondo que
é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do
para fora da região
limitada pela curva
:
b) é o retângulo com vértices em
.
b)
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: