Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integralx^2 x raiz1+y^3 d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para mudar a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^2(integralx^2 x raiz1+y^3 , dy) dx
Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a troca da ordem de integração, que pode simplificar bastante o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 2 e, para cada , varia de a 2. Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no plano , delimitada pelas linhas , e .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de variar de 0 a 2 e de a 2, vamos deixar variar primeiro. Observando a região, para cada , varia de 0 até . Além disso, varia de 0 a 2.

Passo 4

Com a nova ordem de integração, a integral fica:
integral0^2(integral0^y x raiz1+y^3 , dx) dy

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^y x raiz1+y^3 , dx :
raiz1+y^3 integral0^y x , dx = raiz1+y^3 [ x^22 ]0^y = raiz1+y^3 cdot y^22
Como integral0^2 y^22 raiz1+y^3 , dy é constante em relação a 12 cdot 13 integral1^9 raizu , du = 16 cdot [ 23 u^3/2 ]1^9 = 16 cdot 23 (9^3/2 - 1^3/2) = 19 (27 - 1) = 269 , podemos tirar para fora da integral:
Agora, substituímos na integral externa:
Fazendo a substituição , então , o que nos dá . Os limites de integração para serão de 1 a .
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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