Exercício 3 Calcule:
b)
, em que
é o segmento de reta que vai do ponto
para o ponto
.
b)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcular a integral
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
para o ponto
. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e integrar cada componente ao longo dessa trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Uma reta que vai de
para
pode ser descrita por:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas em relação a
:
Essas derivadas vão nos ajudar a substituir
,
e
na integral.
Passo 4
Substituímos
,
,
,
,
e
na expressão da integral:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral.
Passo 5
Simplificando passo a passo:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos simplificados dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral indefinida é:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Para :
Para
Para
:
Então, a integral definida é:
Resposta
O valor da integral é
.
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