Exercício 3 Calcule:
b) integralC(x-y^2) d x+(y-z^2) d y+(z-x^2) d z, em que C é o segmento de reta que vai do ponto (0,0,1) para o ponto (2,1,0).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcular a integral , onde é o segmento de reta que vai do ponto para o ponto . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e integrar cada componente ao longo dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta r(t) = r0 + t(r1 - r0), t in [0,1] . Uma reta que vai de x(t) = 0 + t(2 - 0) = 2t para y(t) = 0 + t(1 - 0) = t pode ser descrita por:
z(t) = 1 + t(0 - 1) = 1 - t
No nosso caso, e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas em relação a dxdt = 2 :
dydt = 1
dzdt = -1
Essas derivadas vão nos ajudar a substituir , e na integral.

Passo 4

Substituímos integral0^1 [(2t) - (t)^2](2) + [t - (1 - t)^2](1) + [(1 - t) - (2t)^2](-1) , dt , , , , e na expressão da integral:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral.

Passo 5

Simplificando passo a passo:
Primeiro termo:
(2t - t^2)(2) = 4t - 2t^2
Segundo termo:
(t - (1 - t)^2)(1) = t - (1 - 2t + t^2) = t - 1 + 2t - t^2 = 3t - 1 - t^2
Terceiro termo:
((1 - t) - (2t)^2)(-1) = (1 - t - 4t^2)(-1) = -1 + t + 4t^2

Passo 6

Agora, somamos todos os termos simplificados dentro da integral:
(4t - 2t^2) + (3t - 1 - t^2) + (-1 + t + 4t^2) = 8t - 3t^2 - 2
Então, a integral fica:
integral0^1 (8t - 3t^2 - 2) , dt

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral 8t , dt = 4t^2
integral -3t^2 , dt = -t^3
integral -2 , dt = -2t
Então, a integral indefinida é:
4t^2 - t^3 - 2t

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão de 4(1)^2 - (1)^3 - 2(1) = 4 - 1 - 2 = 1 a 4(0)^2 - (0)^3 - 2(0) = 0 - 0 - 0 = 0 :
Para 1 - 0 = 1 :
Para :
Então, a integral definida é:

Resposta

O valor da integral é .

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