Exercício 9 Supondo que
é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do
para fora da região
limitada pela curva
:
b)
é o retângulo com vértices em
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa de escoamento do campo velocidade
para fora da região
, que é um retângulo com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos usar um conceito da matéria de cálculo vetorial chamado Teorema de Green, que relaciona a circulação ou o fluxo de um campo vetorial ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Vamos precisar calcular a divergência do campo
e depois integrar sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de um campo
é dada por:
No nosso caso,
, o que significa que
e
. Então, vamos calcular a divergência de
.
Passo 3
Calculando a divergência:
Então, a divergência de
é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green para calcular o fluxo. O teorema nos diz que o fluxo do campo
para fora da região
é igual à integral dupla da divergência de
sobre
. Matemáticamente:
Substituindo a divergência que encontramos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Como
é um retângulo com
variando de
a
e
de
a
, nossos limites serão:
Passo 5
Vamos agora calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A taxa de escoamento do campo
para fora da região
é
.
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