Exercício 9 Supondo que F é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do F para fora da região R limitada pela curva C :
b) F = y^3 j ; C é o retângulo com vértices em (1,1), (3,1), (3,2), (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a taxa de escoamento do campo velocidade para fora da região R, que é um retângulo com vértices em 1,1, 3,1, (3,2) e 1,2. Para isso, vamos usar um conceito da matéria de cálculo vetorial chamado Teorema de Green, que relaciona a circulação ou o fluxo de um campo vetorial ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Vamos precisar calcular a divergência do campo F e depois integrar sobre a região R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de um campo é dada por:
No nosso caso, , o que significa que e . Então, vamos calcular a divergência de F.

Passo 3

Calculando a divergência:
Então, a divergência de F é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green para calcular o fluxo. O teorema nos diz que o fluxo do campo F para fora da região R é igual à integral dupla da divergência de F sobre R. Matemáticamente:
Substituindo a divergência que encontramos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região R. Como R é um retângulo com x variando de 1 a e y de 1 a , nossos limites serão:

Passo 5

Vamos agora calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a y:
Agora, integramos em relação a x:

Resposta

A taxa de escoamento do campo F para fora da região R é .

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