Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e reescrever os limites de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. O primeiro integral é em relação a
de
até
, e depois em relação a
de
até
. Isso significa que
varia de 0 a 2, e para cada
,
varia de
até 2. Se desenharmos isso, a área é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para mudar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a região, para cada
entre 0 e 2,
varia de 0 até
. Ou seja, agora vamos integrar primeiro em relação a
de 0 a
, e depois em relação a
de 0 a 2.
Passo 4
Com os novos limites, a integral fica:
Note que
não depende de
, então podemos simplificar a integral interna.
Passo 5
Integrando em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Resposta
A integral original, ao mudar a ordem de integração, se simplifica para:
Exercícios relacionados
Exercício 9 Supondo que
é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do
para fora da região
limitada pela curva
:
b) é o retângulo com vértices em
.
b)
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas