Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integralx^2 e^-y^2 d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^2(integralx^2 e^-y^2 , dy) dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e reescrever os limites de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . O primeiro integral é em relação a de até , e depois em relação a de até . Isso significa que varia de 0 a 2, e para cada , varia de até 2. Se desenharmos isso, a área é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Para mudar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região, para cada entre 0 e 2, varia de 0 até . Ou seja, agora vamos integrar primeiro em relação a de 0 a , e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 4

Com os novos limites, a integral fica:
integral0^2(integral0^y e^-y^2 , dx) dy
Note que não depende de , então podemos simplificar a integral interna.

Passo 5

Integrando em relação a integral0^y e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot integral0^y dx = e^-y^2 cdot y :
integral0^2 y cdot e^-y^2 , dy
Agora, substituímos na integral externa:

Resposta

A integral original, ao mudar a ordem de integração, se simplifica para:
integral0^2 y cdot e^-y^2 , dy

Exercícios relacionados

Exercício 9 Supondo que F é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do F para fora da região R limitada pela curva C :
b) F = y^3 j ; C é o retângulo com vértices em (1,1), (3,1), (3,2), (1,2).
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integralx^2 x raiz1+y^3 d y) d x
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integraly^2^4 raizx sen x d x) d y
Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR y d x d y y=2 x^2-2, y=x^2+x