Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^1(integraly^1 sen(x^2) d x) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para a gente mudar a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^1(integraly^1 sin(x^2) dx) dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas e vamos precisar mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Vamos precisar entender como os limites de integração se comportam e aplicar uma substituição para resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. No caso, temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a área abaixo da linha no quadrado .

Passo 3

Para mudar a ordem de integração, vamos inverter as variáveis. Agora, vai variar de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a . Isso ajusta a região de integração para que seja a primeira variável a ser integrada.

Passo 4

Com a ordem de integração invertida, a integral fica:
integral0^1(integral0^x dy) sin(x^2) dx
Aqui, integramos de 0 a , multiplicando pela função .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna integral0^x dy = x - 0 = x . Como estamos integrando em relação a , essa integral simplesmente nos dá o valor:

Passo 6

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral principal:
integral0^1 x cdot sin(x^2) dx
Isso simplifica nossa expressão para uma única integral em termos de .

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 8

Agora, substituímos na integral:
integral0^1 x cdot sin(x^2) dx = integralu=0^u=1 sin(u) cdot du2 = 12 integral0^1 sin(u) du

Passo 9

Vamos calcular a integral de integral sin(u) du = -cos(u) + C :
12 [ -cos(1) + cos(0) ] = 12 (1 - cos(1))
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral dada vale:
1 - cos(1)2

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