Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que pede para a gente mudar a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas e vamos precisar mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Vamos precisar entender como os limites de integração se comportam e aplicar uma substituição para resolver a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. No caso, temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a área abaixo da linha
no quadrado
.
Passo 3
Para mudar a ordem de integração, vamos inverter as variáveis. Agora,
vai variar de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 a
. Isso ajusta a região de integração para que
seja a primeira variável a ser integrada.
Passo 4
Com a ordem de integração invertida, a integral fica:
Aqui, integramos
de 0 a
, multiplicando pela função
.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna
. Como estamos integrando em relação a
, essa integral simplesmente nos dá o valor:
Passo 6
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral principal:
Isso simplifica nossa expressão para uma única integral em termos de
.
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 8
Agora, substituímos na integral:
Passo 9
Vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
A integral dada vale:
Exercícios relacionados
Exercício 3 Calcule:
b) , em que
é o segmento de reta que vai do ponto
para o ponto
.
b)
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Exercício 9 Supondo que
é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do
para fora da região
limitada pela curva
:
b) é o retângulo com vértices em
.
b)