Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O enunciado é:
Vou te mostrar passo a passo como fazer isso de um jeito tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Aqui,
varia de 0 a 2 e, para cada
,
varia de
a 4. Então, o domínio é todo o espaço onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar essa região no plano
. A curva
é uma parábola que abre para a direita. Sabendo que
vai até 2, o
máximo será
. Assim, a região está limitada entre a parábola e a linha vertical
.
Passo 4
Para mudar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a região:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, varia de 0 a (já que é a inversa de ).
Então, a integral vira:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo na integral principal:
Agora, vamos resolver
usando integração por partes. Seja:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Agora, avaliamos de 0 a 4:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Exercício 9 Supondo que
é o campo velocidade de um fluido, determine a taxa de escoamento do
para fora da região
limitada pela curva
:
b) é o retângulo com vértices em
.
b)
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas