Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o volume de um sólido que está limitado por uma função por cima e por um retângulo
por baixo. Isso envolve usar integração dupla, que é uma técnica da matemática para encontrar volumes sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integração dupla. Basicamente, é como somar infinitos retângulos minúsculos que cobrem toda a área do retângulo
. Cada retângulo tem uma altura dada pela função . Para encontrar o volume total, a gente integra essa função sobre a região
.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla. Como a região
vai de
a
em
e de
a
em
, a integral fica assim:
Passo 4
A gente pode resolver essa integral em duas etapas, integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos começar integrando em relação a
:
Aqui, é uma constante em relação a
, então a integral de
é
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a
:
A constante
pode sair da integral:
A integral de é
, então:
Passo 6
Vamos calcular os valores de
e
:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função
e inferiormente pelo retângulo dado:
e
Exercício 3 Calcule:
b) , em que
é o segmento de reta que vai do ponto
para o ponto
.
b)
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: