Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = x sen(y) e R = [0, pi] x [0, pi]

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o volume de um sólido que está limitado por uma função por cima e por um retângulo por baixo. Isso envolve usar integração dupla, que é uma técnica da matemática para encontrar volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integração dupla. Basicamente, é como somar infinitos retângulos minúsculos que cobrem toda a área do retângulo R. Cada retângulo tem uma altura dada pela função . Para encontrar o volume total, a gente integra essa função sobre a região .

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla. Como a região R vai de 0 a pi em x e de 0 a pi em y, a integral fica assim:

Passo 4

A gente pode resolver essa integral em duas etapas, integrando primeiro em relação a x e depois em relação a y. Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a x, então a integral de é . Assim:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a y:
A constante pode sair da integral:
A integral de é , então:

Passo 6

Vamos calcular os valores de e :
Substituindo:

Resposta

O volume do sólido é pi^2 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = cos(2x) + sen(2y) e R = [0, pi/2] x [0, pi/2]
Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f(x, y) e inferiormente pelo retângulo dado: f(x, y) = raiz(9 - y^2) e R = [0,4] x [0,2]
Exercício 3 Calcule:
b) integralC(x-y^2) d x+(y-z^2) d y+(z-x^2) d z, em que C é o segmento de reta que vai do ponto (0,0,1) para o ponto (2,1,0).
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^1(integraly^1 sen(x^2) d x) d y