Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^1 integraly^1 tan (x^2) d x d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. Temos a integral dupla integral0^1 integraly^1 tan (x^2) , dx , dy. Vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, especialmente a mudança na ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Originalmente, y vai de 0 a 1, e para cada valor de y, x vai de y a 1. Isso forma uma região triangular no plano xy.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Para isso, precisamos determinar novos limites de integração.

Passo 4

Quando trocamos a ordem, x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 a x. Então, a integral fica assim:
integral0^1 integral0^x tan (x^2) , dy , dx

Passo 5

Agora, observe que tan(x^2) não depende de y. Isso significa que podemos calcular a integral interna em relação a y de forma simples:
integral0^x tan (x^2) , dy = tan (x^2) cdot y gr|0^x = tan (x^2) cdot x

Passo 6

Substituindo isso na integral externa, temos:
integral0^1 tan (x^2) cdot x , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver essa integral. Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja u = x^2, então du = 2x , dx ou x , dx = du2.

Passo 8

Substituindo na integral:
12 integral0^1 tan(u) , du
A integral de tan(u) é -ln|cos(u)|, então:
12 [ -ln|cos(u)| ]0^1 = 12 ( -ln(cos(1)) + ln(cos(0)) )
Como cos(0) = 1 e ln(1) = 0, simplificamos para:
12 ( -ln(cos(1)) ) = -12 ln(cos(1))

Resposta

O valor da integral é -dfrac12 ln(cos(1)).

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