Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. Temos a integral dupla . Vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, especialmente a mudança na ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Originalmente, vai de 0 a 1, e para cada valor de , vai de a 1. Isso forma uma região triangular no plano .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites de integração.

Passo 4

Quando trocamos a ordem, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Então, a integral fica assim:

Passo 5

Agora, observe que não depende de . Isso significa que podemos calcular a integral interna em relação a de forma simples:

Passo 6

Substituindo isso na integral externa, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver essa integral. Fazemos uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .

Passo 8

Substituindo na integral:
A integral de é , então:
Como e , simplificamos para:

Resposta

O valor da integral é .

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Esboce a região de integração e calcule as integrais:
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