Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. Temos a integral dupla . Vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, especialmente a mudança na ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. Originalmente, vai de 0 a 1, e para cada valor de , vai de a 1. Isso forma uma região triangular no plano .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites de integração.
Passo 4
Quando trocamos a ordem, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Então, a integral fica assim:
Passo 5
Agora, observe que não depende de . Isso significa que podemos calcular a integral interna em relação a de forma simples:
Passo 6
Substituindo isso na integral externa, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa integral. Fazemos uma substituição para facilitar: