Esboce a região de integração e calcule as integrais: integral duplaD x y^3 d x d y, D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2,0 <= y <= 2 x

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração e calcular a integral dupla . Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma área no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região 1 <= x <= 2 . A definição dada é:
0 <= y <= 2x
Isso significa que varia de 1 a 2, e para cada nesse intervalo, vai de 0 até o dobro de . Se a gente desenhar isso no gráfico, começa no ponto até , e a linha superior da região vai de até (já que ). A região fica numa espécie de trapézio inclinado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla integral0^2x x y^3 , dy . Geralmente, a gente escolhe a ordem de integração que facilita os cálculos. Aqui, podemos integrar primeiro em relação a x integral0^2x y^3 , dy = x [ y^44 ]0^2x = x cdot (2x)^44 e depois em relação a (2x)^4 = 16x^4 .
Primeiro, fixamos um valor de x cdot 16x^44 = x cdot 4x^4 = 4x^5 e integramos em relação a :
Como é constante em relação a , a integral fica:
Calculando:
Então:

Passo 4

Agora, integramos o resultado em relação a integral1^2 4x^5 , dx , de 1 a 2:
4 integral1^2 x^5 , dx = 4 [ x^66 ]1^2 = 46 (2^6 - 1^6)
Integrando:
2^6 = 64
Calculando os valores:
1^6 = 1
46 (64 - 1) = 23 times 63 = 42
Então:

Resposta

A integral dupla vale 42.

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