Esboce a região de integração e calcule as integrais:

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração e calcular a integral dupla . Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma área no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . A definição dada é:
Isso significa que varia de 1 a 2, e para cada nesse intervalo, vai de 0 até o dobro de . Se a gente desenhar isso no gráfico, começa no ponto até , e a linha superior da região vai de até (já que ). A região fica numa espécie de trapézio inclinado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla . Geralmente, a gente escolhe a ordem de integração que facilita os cálculos. Aqui, podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Primeiro, fixamos um valor de e integramos em relação a :
Como é constante em relação a , a integral fica:
Calculando:
Então:

Passo 4

Agora, integramos o resultado em relação a , de 1 a 2:
Integrando:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

A integral dupla vale 42.

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