Esboce a região de integração e calcule as integrais:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração
e calcular a integral dupla
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma área no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região
. A definição dada é:
Isso significa que
varia de 1 a 2, e para cada
nesse intervalo,
vai de 0 até o dobro de
. Se a gente desenhar isso no gráfico, começa no ponto
até
, e a linha superior da região vai de
até
(já que
). A região fica numa espécie de trapézio inclinado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla
. Geralmente, a gente escolhe a ordem de integração que facilita os cálculos. Aqui, podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Primeiro, fixamos um valor de
e integramos em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Calculando:
Então:
Passo 4
Agora, integramos o resultado em relação a
, de 1 a 2:
Integrando:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A integral dupla
vale 42.
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Use a derivação implícita para determinar
e
da equação: