Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição .

Passo 1

Então, a gente tem um problema de otimização aqui! Queremos encontrar os valores máximo e mínimo da função com a restrição . Vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de cálculo para otimizar funções sujeitas a restrições. Para isso, precisamos montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, que geralmente chamamos de . A fórmula fica assim:
No nosso caso, , a restrição é e . Então, a função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso porque, nos pontos de máximo ou mínimo, essas derivadas serão nulas.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações formado:
  1. \quad (1)
  2. \quad (2)
  3. \quad (3)
Da equação (1), podemos fatorar :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
Caso 1:
Substituindo na equação (3):
Então, temos dois pontos: e .
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Mas como , temos ou .
Vamos considerar e substituir na equação (3):
Então, ou , resultando nos pontos e .

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função em cada um dos pontos encontrados para determinar quais são os máximos e mínimos.
  1. Ponto (0, ):
  1. Ponto (0, - ):
  1. Ponto (2, 1):
  1. Ponto (-2, -1):
Observamos que é o valor máximo e é o valor mínimo sob a restrição dada.

Resposta

O valor máximo da função é no ponto e o valor mínimo é no ponto .

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