Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de otimização aqui! Queremos encontrar os valores máximo e mínimo da função
com a restrição
. Vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de cálculo para otimizar funções sujeitas a restrições. Para isso, precisamos montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
. A fórmula fica assim:
No nosso caso,
, a restrição é
e
. Então, a função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso porque, nos pontos de máximo ou mínimo, essas derivadas serão nulas.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações formado:
-
\quad (1) -
\quad (2) -
\quad (3)
Da equação (1), podemos fatorar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Caso 1:
Substituindo
na equação (3):
Então, temos dois pontos:
e
.
Caso 2:
Substituindo
na equação (2):
Mas como
, temos
ou
.
Vamos considerar
e substituir na equação (3):
Então,
ou
, resultando nos pontos
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função
em cada um dos pontos encontrados para determinar quais são os máximos e mínimos.
- Ponto (0,
):
- Ponto (0, -
):
- Ponto (2, 1):
- Ponto (-2, -1):
Observamos que
é o valor máximo e
é o valor mínimo sob a restrição dada.
Resposta
O valor máximo da função é
no ponto
e o valor mínimo é
no ponto
.
Exercícios relacionados
Use a derivação implícita para determinar
e
da equação:
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.
Determine se os campos abaixo são conservativos