Use a derivação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y da equação:
x^2+y^2+z^2=3 x y z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz em relação a e usando a derivação implícita. O enunciado que temos é:
Vamos precisar aplicar as regras de diferenciação para funções implícitas e lembrar como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx(x^2) + ddx(y^2) + ddx(z^2) = 2x + 0 + 2z partial zpartial x . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(3xyz) = 3y cdot ddx(x z) = 3y(z + x partial zpartial x) , tratando como uma constante e como uma função de .
Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, porque é tratado como constante, e para usamos a regra da cadeia, resultando em .
Diferenciando o lado direito:
Usamos a regra do produto para , onde derivada de é 1 e derivada de é .

Passo 3

Agora, igualamos as duas derivações:
2x + 2z partial zpartial x = 3y(z + x partial zpartial x)
Vamos distribuir o lado direito:
2x + 2z partial zpartial x = 3yz + 3xy partial zpartial x
Agora, vamos isolar os termos que contêm 2z partial zpartial x - 3xy partial zpartial x = 3yz - 2x :
(2z - 3xy) partial zpartial x = 3yz - 2x
Fatorando partial zpartial x = 3yz - 2x2z - 3xy :
Finalmente, isolamos :

Passo 4

Agora, vamos seguir o mesmo processo para encontrar ddy(x^2) + ddy(y^2) + ddy(z^2) = 0 + 2y + 2z partial zpartial y . Diferenciando a equação original em relação a ddy(3xyz) = 3x cdot ddy(y z) = 3x(z + y partial zpartial y) :
Diferenciando o lado esquerdo:
2y + 2z partial zpartial y = 3x(z + y partial zpartial y)
Diferenciando o lado direito:
2y + 2z partial zpartial y = 3xz + 3xy partial zpartial y
Igualando as derivações:
2z partial zpartial y - 3xy partial zpartial y = 3xz - 2y
Distribuindo o lado direito:
(2z - 3xy) partial zpartial y = 3xz - 2y
Isolando os termos com partial zpartial y = 3xz - 2y2z - 3xy :
Fatorando :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 3yz - 2x2z - 3xy
e
partial zpartial y = 3xz - 2y2z - 3xy

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