Use a derivação implícita para determinar
e
da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a derivação implícita. O enunciado que temos é:
Vamos precisar aplicar as regras de diferenciação para funções implícitas e lembrar como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma constante e
como uma função de
.
Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui,
porque
é tratado como constante, e para
usamos a regra da cadeia, resultando em
.
Diferenciando o lado direito:
Usamos a regra do produto para
, onde derivada de
é 1 e derivada de
é
.
Passo 3
Agora, igualamos as duas derivações:
Vamos distribuir o lado direito:
Agora, vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 4
Agora, vamos seguir o mesmo processo para encontrar
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Diferenciando o lado esquerdo:
Diferenciando o lado direito:
Igualando as derivações:
Distribuindo o lado direito:
Isolando os termos com
:
Fatorando
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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sujeita à restrição
.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.