Use a derivação implícita para determinar e da equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a derivação implícita. O enunciado que temos é:
Vamos precisar aplicar as regras de diferenciação para funções implícitas e lembrar como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma constante e como uma função de .
Diferenciando o lado esquerdo:
Aqui, porque é tratado como constante, e para usamos a regra da cadeia, resultando em .
Diferenciando o lado direito:
Usamos a regra do produto para , onde derivada de é 1 e derivada de é .

Passo 3

Agora, igualamos as duas derivações:
Vamos distribuir o lado direito:
Agora, vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 4

Agora, vamos seguir o mesmo processo para encontrar . Diferenciando a equação original em relação a :
Diferenciando o lado esquerdo:
Diferenciando o lado direito:
Igualando as derivações:
Distribuindo o lado direito:
Isolando os termos com :
Fatorando :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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