Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
E sabemos que:
Então, substituindo na expressão:
Portanto, a raiz quadrada fica:
Como estamos integrando de
a
e
é uma função ímpar que é positiva nesse intervalo, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos substituir de volta na integral:
Passo 4
Sabemos que
, então podemos substituir:
Agora, vamos separar a fração:
Passo 5
Vamos agora fazer uma substituição para simplificar as integrais. Seja:
Então:
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral, então vamos tentar outra abordagem. Vamos considerar que a função é par, então podemos simplificar integrando de
a
e multiplicar por
:
Passo 6
Agora, vamos utilizar a identidade
novamente:
Ainda está complicado, então vamos tentar uma substituição diferente. Seja:
Passo 7
Expressamos a integral em termos de
:
Simplificando:
Isso ainda parece complicado, então vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 8
Vamos tentar uma substituição trigonométrica diferente. Seja:
Isso também não simplifica diretamente, então vamos optar por resolver numericamente.
Resposta
Após simplificações e tentativas de substituições, concluímos que a integral pode ser aproximada numericamente. Calculando:
Isso ocorre porque a função é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero, resultando em cancelamento das áreas positivas e negativas.