Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
integral-pi6^pi6 sen^3 xraiz1-cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral-pi6^pi6 sin^3 xraiz1 - cos^4 x , dx
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observe que:
1 - cos^4 x = (1 - cos^2 x)(1 + cos^2 x)
E sabemos que:
1 - cos^2 x = sin^2 x
Então, substituindo na expressão:
1 - cos^4 x = sin^2 x (1 + cos^2 x)
Portanto, a raiz quadrada fica:
raiz1 - cos^4 x = raizsin^2 x (1 + cos^2 x) = |sin x| raiz1 + cos^2 x
Como estamos integrando de -pi6 a pi6 e sin x é uma função ímpar que é positiva nesse intervalo, podemos simplificar para:
raiz1 - cos^4 x = sin x raiz1 + cos^2 x

Passo 3

Agora, vamos substituir de volta na integral:
integral-pi6^pi6 sin^3 xraiz1 - cos^4 x , dx = integral-pi6^pi6 sin^3 xsin x raiz1 + cos^2 x , dx = integral-pi6^pi6 sin^2 xraiz1 + cos^2 x , dx

Passo 4

Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x, então podemos substituir:
integral-pi6^pi6 1 - cos^2 xraiz1 + cos^2 x , dx
Agora, vamos separar a fração:
integral-pi6^pi6 1raiz1 + cos^2 x , dx - integral-pi6^pi6 cos^2 xraiz1 + cos^2 x , dx

Passo 5

Vamos agora fazer uma substituição para simplificar as integrais. Seja:
u = cos x
Então:
du = -sin x , dx Rightarrow dx = -dusin x
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral, então vamos tentar outra abordagem. Vamos considerar que a função é par, então podemos simplificar integrando de 0 a pi6 e multiplicar por 2:
2 integral0^pi6 sin^2 xraiz1 + cos^2 x , dx

Passo 6

Agora, vamos utilizar a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x novamente:
2 integral0^pi6 1 - cos^2 xraiz1 + cos^2 x , dx = 2 integral0^pi6 1raiz1 + cos^2 x , dx - 2 integral0^pi6 cos^2 xraiz1 + cos^2 x , dx
Ainda está complicado, então vamos tentar uma substituição diferente. Seja:
t = cos x Rightarrow dt = -sin x , dx e sin x = raiz1 - t^2

Passo 7

Expressamos a integral em termos de t:
2 integralcos(pi6)^1 1 - t^2raiz1 + t^2 cdot dtraiz1 - t^2
Simplificando:
2 integralraiz32^1 1 - t^2raiz(1 + t^2)(1 - t^2) , dt
= 2 integralraiz32^1 1 - t^2raiz1 - t^4 , dt
Isso ainda parece complicado, então vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 8

Vamos tentar uma substituição trigonométrica diferente. Seja:
u = cos^2 x Rightarrow du = -2 cos x sin x , dx
Isso também não simplifica diretamente, então vamos optar por resolver numericamente.

Resposta

Após simplificações e tentativas de substituições, concluímos que a integral pode ser aproximada numericamente. Calculando:
integral-pi6^pi6 sin^3 xraiz1 - cos^4 x , dx approx 0
Isso ocorre porque a função é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero, resultando em cancelamento das áreas positivas e negativas.

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