Um circuito possui um indutor de 1 H , um resistor de , e um capacitor de ligados em série a uma bateria de 12 V . Inicialmente a carga no capacitor e a corrente que passa no circuito são nulas. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando ?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre circuitos elétricos, especificamente um circuito RLC série. Nesse circuito, temos um indutor, um resistor e um capacitor ligados em série a uma bateria. Precisamos encontrar como a carga no capacitor e a corrente no circuito mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de física de circuitos elétricos e resolver algumas equações diferenciais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do circuito:
Inicialmente, a carga no capacitor e a corrente no circuito são zero.
Passo 3
No circuito RLC série, a relação entre a tensão, a corrente e a carga no capacitor é dada pela seguinte equação diferencial:
Aqui:
é a tensão da bateria,
é a tensão no indutor,
é a tensão no resistor,
é a tensão no capacitor.
Precisamos resolver essa equação para encontrar e .
Passo 4
Sabemos que a corrente está relacionada à carga pelo:
Substituindo na equação anterior, temos uma equação diferencial de segunda ordem para :
Passo 5
Vamos simplificar a equação substituindo os valores conhecidos:
Isso resulta em:
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, consideramos a solução da equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação envolve termos exponenciais cuja forma dependerá das raízes da equação característica:
Passo 7
Resolvemos a equação característica para encontrar :
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 8
Com as raízes complexas, a solução da equação homogênea é:
Agora, encontramos a solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma constante (12 V), a solução particular será também uma constante . Substituindo na equação:
Passo 9
A solução geral para é a soma da solução homogênea e da particular:
Usamos as condições iniciais para encontrar e :
Derivando e aplicando :
Aplicando :
Passo 10
Substituindo e na expressão de :
Agora, a corrente é a derivada de :
Simplificando:
Passo 11
Portanto, as expressões finais são:
Resposta
Quando , os termos exponenciais desaparecem porque tende a zero. Assim, a carga no capacitor e a corrente no circuito são: