Um circuito possui um indutor de 1 H , um resistor de 220 Omega, e um capacitor de 2.5 * 10^(-6) F ligados em série a uma bateria de 12 V . Inicialmente a carga no capacitor e a corrente que passa no circuito são nulas. (a) Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em função do tempo. b) Qual é a carga no capacitor e a corrente no circuito quando t -> infinito ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre circuitos elétricos, especificamente um circuito RLC série. Nesse circuito, temos um indutor, um resistor e um capacitor ligados em série a uma bateria. Precisamos encontrar como a carga no capacitor e a corrente no circuito mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de física de circuitos elétricos e resolver algumas equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes do circuito:
  • Indutor (L): 1 H
  • Resistor ®: 220 Ω
  • Capacitor ©: F
  • Tensão da bateria (V): 12 V
Inicialmente, a carga no capacitor e a corrente no circuito são zero.

Passo 3

No circuito RLC série, a relação entre a tensão, a corrente e a carga no capacitor é dada pela seguinte equação diferencial:
Aqui:
  • é a tensão da bateria,
  • é a tensão no indutor,
  • é a tensão no resistor,
  • é a tensão no capacitor.
Precisamos resolver essa equação para encontrar e .

Passo 4

Sabemos que a corrente está relacionada à carga pelo:
Substituindo na equação anterior, temos uma equação diferencial de segunda ordem para :

Passo 5

Vamos simplificar a equação substituindo os valores conhecidos:
Isso resulta em:

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, consideramos a solução da equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação envolve termos exponenciais cuja forma dependerá das raízes da equação característica:

Passo 7

Resolvemos a equação característica para encontrar :
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 8

Com as raízes complexas, a solução da equação homogênea é:
Agora, encontramos a solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma constante (12 V), a solução particular será também uma constante . Substituindo na equação:

Passo 9

A solução geral para é a soma da solução homogênea e da particular:
Usamos as condições iniciais para encontrar e :
Derivando e aplicando :
Aplicando :

Passo 10

Substituindo e na expressão de :
Agora, a corrente é a derivada de :
Simplificando:

Passo 11

Portanto, as expressões finais são:

Resposta

Quando , os termos exponenciais desaparecem porque tende a zero. Assim, a carga no capacitor e a corrente no circuito são:

Exercícios relacionados