Calcule os seguintes limites
(k) lim x p tan (x-p)x^2-p^2, p neq 0^circ) lim x 1 sen pi xx-1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o primeiro limite: . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e polinomiais. Precisamos usar propriedades de limites e talvez lidar com formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador tan (x - p)(x - p)(x + p) . Sabemos que . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, observamos que quando tan (x - p) approx (x - p) se aproxima de , se aproxima de 0. Então, podemos reescrever a tangente usando a aproximação quando está próximo de 0. Assim:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão, temos:
(x - p)(x - p)(x + p) = 1x + p

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite diretamente substituindo lim x p 1x + p = 1p + p = 12p por :

Passo 6

Vamos para o segundo limite: . Aqui, novamente, temos uma forma indeterminada quando substituímos .

Passo 7

Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se lim x 1 sen pi xx - 1 = lim x 1 (sen pi x)'(x - 1)' resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 8

Calculando as derivadas:
Então, o limite fica:
(sen pi x)' = pi cos pi x e (x - 1)' = 1

Passo 9

Sabemos que pi cos pi = pi cdot (-1) = -pi , então:

Resposta

O primeiro limite é e o segundo limite é .

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