Calcule os seguintes limites
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o primeiro limite:
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e polinomiais. Precisamos usar propriedades de limites e talvez lidar com formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Sabemos que
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, observamos que quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Então, podemos reescrever a tangente usando a aproximação
quando
está próximo de 0. Assim:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão, temos:
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite diretamente substituindo
por
:
Passo 6
Vamos para o segundo limite: . Aqui, novamente, temos uma forma indeterminada
quando substituímos
.
Passo 7
Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Passo 8
Calculando as derivadas:
Então, o limite fica:
Passo 9
Sabemos que
, então:
Resposta
O primeiro limite é
e o segundo limite é
.