Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
- c)
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções hiperbólicas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico. A função
é definida como
. Isso pode ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Dessa forma, podemos achar
em termos de
. Sabemos que a derivada de
é
, então:
Mas lembre-se que
, pois
. Então:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Note que
, então simplificou bastante!
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos:
Agora, vamos voltar à variável original
, lembrando que
:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Sendo
, dado que
.
Verifique, por derivação, que
Verifique, por derivação, que
Calcule o valor do limite abaixo:
Considere a função dada por
. Calcule: