Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
integral e^raizxraizx d x
  • c) integral senh(ln x)x d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções hiperbólicas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico. A função é definida como . Isso pode ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
t = ln x
Dessa forma, podemos achar dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt em termos de dx = e^t , dt . Sabemos que a derivada de é , então:
Mas lembre-se que , pois . Então:

Passo 4

Vamos substituir integral sinh(ln x)x , dx = integral sinh(t)e^t cdot e^t , dt = integral sinh(t) , dt e na integral original:
Note que , então simplificou bastante!

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral sinh(t) , dt
Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
integral sinh(t) , dt = cosh(t) + C
Agora, vamos voltar à variável original cosh(t) = cosh(ln x) , lembrando que :

Resposta

Portanto, a integral cosh(ln x) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados