Sendo tgh y=x, dado que y=tgh^-1 x.
Verifique, por derivação, que
integral tgh^-1 x d x=ln raiz1-x^2+x cdot tgh^-1 x+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função inversa da tangente hiperbólica, que é a tgh^-1 x, também conhecida como arctanh x. O exercício pede pra gente encontrar a integral dessa função, ou seja, calcular
integral tgh^-1 x , dx
Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes. Então, precisamos lembrar como funciona essa técnica e identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher u = tgh^-1 x e dv = dx e de forma inteligente. Vamos deixar:
Dessa forma, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando ddx tgh^-1 x = 11 - x^2 , que é a derivada de du = 11 - x^2 , dx em relação a v = integral dx = x :
Sabemos que:
Então:
Agora, calculamos integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes com os valores que encontramos:
integral tgh^-1 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
integral tgh^-1 x , dx = tgh^-1 x cdot x - integral x cdot 11 - x^2 , dx

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
integral tgh^-1 x , dx = x cdot tgh^-1 x - integral x1 - x^2 , dx
Agora, vamos resolver a integral que sobra:
integral x1 - x^2 , dx

Passo 6

Para calcular essa nova integral, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar:
u = 1 - x^2 Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow -12 du = x , dx
Substituindo na integral:
integral x1 - x^2 , dx = -12 integral 1u , du

Passo 7

Integrando, temos:
- 12 integral 1u , du = -12 ln |u| + C = -12 ln |1 - x^2| + C
Como - 12 ln (1 - x^2) + C é positivo dentro do domínio da tangente hiperbólica inversa, podemos remover o valor absoluto:

Passo 8

Voltando à expressão original, substituímos a integral resolvida:
integral tgh^-1 x , dx = x cdot tgh^-1 x - ( -12 ln (1 - x^2) ) + C
Simplificando os sinais:
integral tgh^-1 x , dx = x cdot tgh^-1 x + 12 ln (1 - x^2) + C

Resposta

Então, a integral de tgh^-1 x em relação a integral tgh^-1 x , dx = ln raiz1 - x^2 + x cdot tgh^-1 x + C é
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule o valor do limite abaixo:
lim (x, y) (0,0) x^2 sen(y)x^2+y^4
Calcule a diferencial total. z = ln(x + x * y^2)
Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
integral e^raizxraizx d x
  • c) integral senh(ln x)x d x
Considere a função dada por f(x, y) = (2x + y) / y. Calcule: f(0,3) + f(5,5)