Sendo
, dado que
.
Verifique, por derivação, que
Verifique, por derivação, que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função inversa da tangente hiperbólica, que é a
, também conhecida como
. O exercício pede pra gente encontrar a integral dessa função, ou seja, calcular
Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes. Então, precisamos lembrar como funciona essa técnica e identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente precisa escolher
e
de forma inteligente. Vamos deixar:
Dessa forma, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
, que é a derivada de
em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Agora, calculamos
integrando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Agora, vamos resolver a integral que sobra:
Passo 6
Para calcular essa nova integral, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando, temos:
Como
é positivo dentro do domínio da tangente hiperbólica inversa, podemos remover o valor absoluto:
Passo 8
Voltando à expressão original, substituímos a integral resolvida:
Simplificando os sinais:
Resposta
Então, a integral de
em relação a
é
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule o valor do limite abaixo:
Calcule a diferencial total.
Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
- c)
Considere a função dada por
. Calcule: