Calcule o valor do limite abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, indo para zero. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis, onde precisamos verificar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que (ou seno de
) tem uma propriedade importante quando
está próximo de zero:
Isso significa que para valores pequenos de
, é aproximadamente igual a
. Vamos substituir isso na nossa expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão:
Para encontrar o limite de uma função de duas variáveis, uma técnica comum é verificar se o limite é o mesmo ao aproximar-se pelo eixo
, pelo eixo
, ou por qualquer outra trajetória. Se obtivermos o mesmo resultado por todas as trajetórias, podemos concluir que o limite existe e é igual a esse valor.
Passo 4
Vamos primeiro aproximar por
:
Se
, a expressão fica:
Então, o limite ao se aproximar pelo eixo
é 0.
Passo 5
Agora, vamos aproximar por
:
Se
, a expressão fica:
Então, o limite ao se aproximar pelo eixo
também é 0.
Passo 6
Vamos testar uma trajetória mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante e
é um expoente que escolhemos para ver o que acontece.
Substituindo
na expressão:
Para que o limite seja o mesmo em todas as trajetórias, precisamos que o termo dominante no denominador seja do mesmo grau que o numerador.
Se escolhermos
:
Resposta
Portanto, independentemente da trajetória que escolhemos para nos aproximarmos de
, o limite é sempre 0.
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Sendo
, dado que
.
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- c)