Calcule o valor do limite abaixo:
lim (x, y) (0,0) x^2 sen(y)x^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, lim (x, y) (0,0) x^2 sen(y)x^2+y^4 e , indo para zero. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis, onde precisamos verificar o comportamento da função à medida que se aproxima de . Para resolver isso, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (ou seno de sen(y) approx y quando y to 0 ) tem uma propriedade importante quando x^2 sen(y)x^2+y^4 approx x^2 yx^2 + y^4 está próximo de zero:
Isso significa que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Vamos substituir isso na nossa expressão:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2 + y^4
Para encontrar o limite de uma função de duas variáveis, uma técnica comum é verificar se o limite é o mesmo ao aproximar-se pelo eixo , pelo eixo , ou por qualquer outra trajetória. Se obtivermos o mesmo resultado por todas as trajetórias, podemos concluir que o limite existe e é igual a esse valor.

Passo 4

Vamos primeiro aproximar por x^2 cdot 0x^2 + 0^4 = 0 :
Se , a expressão fica:
Então, o limite ao se aproximar pelo eixo é 0.

Passo 5

Agora, vamos aproximar por 0^2 cdot y0^2 + y^4 = 0 :
Se , a expressão fica:
Então, o limite ao se aproximar pelo eixo também é 0.

Passo 6

Vamos testar uma trajetória mais geral, por exemplo, x^2 cdot k x^ax^2 + (k x^a)^4 = k x^2 + ax^2 + k^4 x^4a , onde k x^2 + 12x^2 + k^4 x^2 = k x^2.5(1 + k^4) x^2 = k x^0.51 + k^4 to 0 quando x to 0 é uma constante e é um expoente que escolhemos para ver o que acontece.
Substituindo na expressão:
Para que o limite seja o mesmo em todas as trajetórias, precisamos que o termo dominante no denominador seja do mesmo grau que o numerador.
Se escolhermos :

Resposta

Portanto, independentemente da trajetória que escolhemos para nos aproximarmos de lim (x, y) (0,0) x^2 sen(y)x^2+y^4 = 0 , o limite é sempre 0.

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integral tgh^-1 x d x=ln raiz1-x^2+x cdot tgh^-1 x+C
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integral e^raizxraizx d x
  • c) integral senh(ln x)x d x