Calcule as seguintes integrais: (1,5 pto ) integral sen(x) cos (x)1+sen^3(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e identificar de que matéria estamos falando. A questão solicita que calculemos a integral de uma função trigonométrica, especificamente:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais precisamente com técnicas de substituição e integração de funções racionais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observamos que o numerador contém , que é derivada de . Isso sugere que podemos usar uma substituição baseada em .
Vamos chamar:
Então, derivando ambos os lados em relação a u = sen(x) :
du = cos(x) , dx
Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de .

Passo 3

Agora, substituímos integral sen(x) cos(x)1 + sen^3(x) , dx = integral u cdot du1 + u^3 e integral u1 + u^3 , du na integral original:
Agora, temos uma integral em termos de , que é:

Passo 4

Para resolver 1 + u^3 = (u + 1)(u^2 - u + 1) , vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
Isso nos permite decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.

Passo 5

Vamos expressar u(u + 1)(u^2 - u + 1) = Au + 1 + Bx + Cu^2 - u + 1 como uma soma de frações parciais:
u = A(u^2 - u + 1) + (Bx + C)(u + 1)
Multiplicando ambos os lados por u = A u^2 - A u + A + B u^2 + B u + C u + C para eliminar os denominadores:
u = (A + B) u^2 + (-A + B + C) u + (A + C)
Expandindo e agrupando os termos:
A + B = 0 -A + B + C = 1 A + C = 0
Combinando os termos semelhantes:
-A + (-A) + (-A) = 1 -3A = 1 A = -13
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
B = -A = 13 C = -A = 13
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos os valores de u1 + u^3 = -13u + 1 + 13u + 13u^2 - u + 1 , u1 + u^3 = -13 cdot 1u + 1 + 13 cdot u + 1u^2 - u + 1 e na expressão de frações parciais:
Podemos simplificar isso:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u1 + u^3 , du = -13 integral 1u + 1 , du + 13 integral u + 1u^2 - u + 1 , du
A primeira integral é direta:
-13 ln|u + 1|
Para a segunda integral, observamos que o numerador é a derivada do denominador:
integral u + 1u^2 - u + 1 , du = 12 ln|u^2 - u + 1|
Portanto:
13 cdot 12 ln|u^2 - u + 1| = 16 ln|u^2 - u + 1|

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes integradas:
-13 ln|u + 1| + 16 ln|u^2 - u + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, lembramos que e substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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