Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e identificar de que matéria estamos falando. A questão solicita que calculemos a integral de uma função trigonométrica, especificamente:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais precisamente com técnicas de substituição e integração de funções racionais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observamos que o numerador contém , que é derivada de . Isso sugere que podemos usar uma substituição baseada em .
Vamos chamar:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de .
Passo 3
Agora, substituímos e na integral original:
Agora, temos uma integral em termos de , que é:
Passo 4
Para resolver , vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
Isso nos permite decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.
Passo 5
Vamos expressar como uma soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo e agrupando os termos:
Combinando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de u1 + u^3 = -13u + 1 + 13u + 13u^2 - u + 1 , u1 + u^3 = -13 cdot 1u + 1 + 13 cdot u + 1u^2 - u + 1 e na expressão de frações parciais:
Podemos simplificar isso:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u1 + u^3 , du = -13 integral 1u + 1 , du + 13 integral u + 1u^2 - u + 1 , du
A primeira integral é direta:
-13 ln|u + 1|
Para a segunda integral, observamos que o numerador é a derivada do denominador:
integral u + 1u^2 - u + 1 , du = 12 ln|u^2 - u + 1|
Portanto:
13 cdot 12 ln|u^2 - u + 1| = 16 ln|u^2 - u + 1|
Passo 8
Agora, juntamos as duas partes integradas:
-13 ln|u + 1| + 16 ln|u^2 - u + 1| + C
Onde é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, lembramos que e substituímos de volta: