Seja
uma função derivável. Prove que entre duas raízes consecutivas de
há no máximo uma raiz de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções diferenciáveis, que é um tema de Cálculo Diferencial. Precisamos provar que, entre duas raízes consecutivas da derivada de uma função
, existe no máximo uma raiz da própria função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos como derivadas e teoremas relacionados, como o Teorema de Rolle.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter duas raízes consecutivas da derivada
. Isso quer dizer que existem dois pontos, digamos
e
, onde
e
, e não há outras raízes de
entre
e
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que dentro desse intervalo
, a função
tem no máximo uma raiz. Ou seja, pode ter uma ou nenhuma solução para
nesse intervalo.
Passo 4
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que existam duas raízes de
dentro de
, digamos em
e
, onde
e
.
Passo 5
Pelo Teorema de Rolle, se uma função é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, e
, então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Passo 6
Isso significa que temos outra raiz de
no intervalo
, chamada
. Mas isso contradiz a hipótese de que
e
são raízes consecutivas de
, ou seja, não deveria haver outra raiz de
entre elas.
Passo 7
Portanto, nossa suposição de que existem duas raízes de
em
está errada. Logo, deve haver no máximo uma raiz de
nesse intervalo.
Resposta
Assim, provamos que entre duas raízes consecutivas de
existe, no máximo, uma raiz da função
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
pto
Seja
uma função diferenciável onde
. Calcule
.
Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por
e
, com
em torno do eixo
.
Encontre a área da superfície de revolução da curva
para
em torno do eixo
.