Seja f: R -> R uma função derivável. Prove que entre duas raízes consecutivas de f' há no máximo uma raiz de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções diferenciáveis, que é um tema de Cálculo Diferencial. Precisamos provar que, entre duas raízes consecutivas da derivada de uma função f, existe no máximo uma raiz da própria função f. Para resolver isso, vamos usar conceitos como derivadas e teoremas relacionados, como o Teorema de Rolle.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter duas raízes consecutivas da derivada . Isso quer dizer que existem dois pontos, digamos a e b, onde e , e não há outras raízes de entre a e b.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que dentro desse intervalo [a, b], a função f tem no máximo uma raiz. Ou seja, pode ter uma ou nenhuma solução para nesse intervalo.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que existam duas raízes de f dentro de [a, b], digamos em c e d, onde e .

Passo 5

Pelo Teorema de Rolle, se uma função é contínua no intervalo [c, d] e diferenciável no intervalo (c, d), e , então existe pelo menos um ponto e em (c, d) onde .

Passo 6

Isso significa que temos outra raiz de no intervalo (a, b), chamada e. Mas isso contradiz a hipótese de que a e b são raízes consecutivas de , ou seja, não deveria haver outra raiz de entre elas.

Passo 7

Portanto, nossa suposição de que existem duas raízes de f em [a, b] está errada. Logo, deve haver no máximo uma raiz de f nesse intervalo.

Resposta

Assim, provamos que entre duas raízes consecutivas de existe, no máximo, uma raiz da função f.

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