Seja g: R -> R uma função diferenciável onde f(x) = x * g(x^3). Calcule f'(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde é uma função diferenciável. O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são ferramentas básicas em cálculo para derivar funções que são produtos ou compostas de outras funções.

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do produto, que nos diz que se temos uma função , então a derivada é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar . A derivada de em relação a é simplesmente:

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Aqui entra a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. Se temos , então:
No nosso caso, , então vamos derivar isso.

Passo 5

Encontrando onde :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Voltando à regra do produto, substituímos , e na fórmula:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados