Seja
uma função diferenciável onde
. Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
é uma função diferenciável. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são ferramentas básicas em cálculo para derivar funções que são produtos ou compostas de outras funções.
Passo 2
Vamos começar aplicando a regra do produto, que nos diz que se temos uma função
, então a derivada
é dada por:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar
. A derivada de
em relação a
é simplesmente:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Aqui entra a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. Se temos
, então:
No nosso caso,
, então vamos derivar isso.
Passo 5
Encontrando
onde
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Voltando à regra do produto, substituímos
,
e
na fórmula:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de
é: