Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por
e
, com
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado ao girar a região limitada pela curva
, pela reta
e pelo eixo
em torno do eixo
. Vamos usar cálculo integral, especificamente o método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a curva dada pela equação
. Vamos isolar
para facilitar o trabalho:
Isso nos dá uma função
que nos ajudará a definir o raio dos discos quando girarmos em torno do eixo
.
Passo 3
Agora, identificamos os limites de integração. A região está limitada por
e
(que é o eixo
). Além disso, observamos que para a expressão de
ser real,
, ou seja,
. Porém, como a outra limitação é
, nosso intervalo de integração será de
até
.
Passo 4
Vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos a região em torno do eixo
, cada “fatia” perpendicular ao eixo
forma um disco com raio igual a
. A área desse disco é
, e o volume total é a integral dessa área de
a
:
Substituindo
na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos fazer uma substituição simples para facilitar a integração. Vamos definir:
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
A presença do sinal negativo inverte os limites de integração:
Passo 6
Expandimos
:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Avaliamos a expressão nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculamos a diferença entre os valores nos limites:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
Exercícios relacionados
Seja
uma função derivável. Prove que entre duas raízes consecutivas de
há no máximo uma raiz de
.
Calcule as seguintes integrais:
pto
Encontre a área da superfície de revolução da curva
para
em torno do eixo
.
Sejam
dois reais dados. Prove que