Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por y^2(2a - x) = x^3, x = a e y = 0, com a > 0 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado ao girar a região limitada pela curva , pela reta e pelo eixo em torno do eixo . Vamos usar cálculo integral, especificamente o método dos discos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva dada pela equação . Vamos isolar para facilitar o trabalho:
Isso nos dá uma função que nos ajudará a definir o raio dos discos quando girarmos em torno do eixo .

Passo 3

Agora, identificamos os limites de integração. A região está limitada por e (que é o eixo ). Além disso, observamos que para a expressão de ser real, , ou seja, . Porém, como a outra limitação é , nosso intervalo de integração será de até .

Passo 4

Vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos a região em torno do eixo , cada “fatia” perpendicular ao eixo forma um disco com raio igual a . A área desse disco é , e o volume total é a integral dessa área de a :
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, vamos fazer uma substituição simples para facilitar a integração. Vamos definir:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:
A presença do sinal negativo inverte os limites de integração:

Passo 6

Expandimos :
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Avaliamos a expressão nos limites de integração e :
Para :
Para :

Passo 9

Calculamos a diferença entre os valores nos limites:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é
ú

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