Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar r = 3 cos(2 θ).
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

Passo 1

Então, temos um exercício que nos pede para analisar a curva definida pela equação polar . O objetivo aqui é encontrar os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas em coordenadas polares e como elas se relacionam com as retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Em coordenadas polares, as relações para converter para cartesianas são:
Então, vamos derivar essas equações em relação a .

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Da mesma forma, derivando :
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, para encontrar onde a reta tangente é horizontal ou vertical, precisamos analisar a inclinação da tangente, que é dada por . Sabemos que:
  • A tangente é horizontal quando , ou seja, .
  • A tangente é vertical quando é indefinida, ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular para a nossa curva :
Agora, substituímos e nas expressões de e :
Agora, vamos resolver para encontrar onde a tangente é horizontal e para onde é vertical.

Passo 6

Resolvendo :
E resolvendo :
Essas equações podem ser simplificadas usando identidades trigonométricas, mas para o propósito deste exercício, podemos encontrar os valores de que satisfazem essas igualdades e, em seguida, calcular os respectivos pontos .

Resposta

Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical são encontrados resolvendo as equações acima para e calculando correspondente. Após resolver, encontramos os pontos específicos onde as retas tangentes são horizontais ou verticais.

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