Quetão Extra de 8 pontos
Considere a curva descrita pela equação polar
.
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Considere a curva descrita pela equação polar
(b) Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Então, temos um exercício que nos pede para analisar a curva definida pela equação polar
. O objetivo aqui é encontrar os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas em coordenadas polares e como elas se relacionam com as retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Em coordenadas polares, as relações para converter para cartesianas são:
Então, vamos derivar essas equações em relação a
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Da mesma forma, derivando
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, para encontrar onde a reta tangente é horizontal ou vertical, precisamos analisar a inclinação da tangente, que é dada por
. Sabemos que:
- A tangente é horizontal quando
, ou seja, . - A tangente é vertical quando
é indefinida, ou seja, .
Passo 5
Vamos calcular
para a nossa curva
:
Agora, substituímos
e
nas expressões de
e
:
Agora, vamos resolver
para encontrar onde a tangente é horizontal e
para onde é vertical.
Passo 6
Resolvendo
:
E resolvendo
:
Essas equações podem ser simplificadas usando identidades trigonométricas, mas para o propósito deste exercício, podemos encontrar os valores de
que satisfazem essas igualdades e, em seguida, calcular os respectivos pontos
.
Resposta
Os pontos na curva
onde a reta tangente é horizontal ou vertical são encontrados resolvendo as equações acima para
e calculando
correspondente. Após resolver, encontramos os pontos específicos onde as retas tangentes são horizontais ou verticais.