Calcule as seguintes integrais, sabendo que R é região limitada pelas curvas dadas: integral duplaR(1x^2+y^2) d x d y ; R=y=x, y=2 x, x=1 e x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral dupla sobre uma região R definida pelas curvas , , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando a função na região R. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. As curvas integralx=1^2 integraly=x^2x 1x^2 + y^2 , dy , dx e são retas que partem da origem e se estendem até e . Então, para cada valor de entre 1 e 2, varia de até . Isso nos ajuda a definir os limites de integração:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral 1x^2 + y^2 , dy = 1x tan^-1(yx) + C em relação a , mantendo fixo. A integral de em é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente:

Passo 4

Aplicando os limites de 1x tan^-1(yx) |y=x^2x = 1x [ tan^-1(2xx) - tan^-1(xx) ] = 1x [ tan^-1(2) - tan^-1(1) ] de 1x [ tan^-1(2) - pi4 ] a , temos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral1^2 1x [ tan^-1(2) - pi4 ] , dx de 1 a 2:
[ tan^-1(2) - pi4 ] integral1^2 1x , dx = [ tan^-1(2) - pi4 ] [ ln|x| ]1^2
Note que é uma constante em relação a , então a integral fica:

Passo 6

Calculando os limites da integral de [ tan^-1(2) - pi4 ] [ ln(2) - ln(1) ] = [ tan^-1(2) - pi4 ] ln(2) :
( tan^-1(2) - pi4 ) ln(2)
Como , simplifica para:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados