Calcule as seguintes integrais, sabendo que é região limitada pelas curvas dadas: e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral dupla sobre uma região R definida pelas curvas , , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando a função na região R. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. As curvas e são retas que partem da origem e se estendem até e . Então, para cada valor de entre 1 e 2, varia de até . Isso nos ajuda a definir os limites de integração:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função em relação a , mantendo fixo. A integral de em é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente:

Passo 4

Aplicando os limites de de a , temos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a de 1 a 2:
Note que é uma constante em relação a , então a integral fica:

Passo 6

Calculando os limites da integral de :
Como , simplifica para:

Resposta

A integral dupla vale .

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Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.4) de a .
Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.1) de a .
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as