Calcule as seguintes integrais, sabendo que é região limitada pelas curvas dadas: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral dupla sobre uma região R definida pelas curvas , , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando a função na região R. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. As curvas e são retas que partem da origem e se estendem até e . Então, para cada valor de entre 1 e 2, varia de até . Isso nos ajuda a definir os limites de integração:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função em relação a , mantendo fixo. A integral de em é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente:
Passo 4
Aplicando os limites de de a , temos:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a de 1 a 2:
Note que é uma constante em relação a , então a integral fica: