Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.4)
de
a
.
(17.4)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem que encontrar o comprimento da curva definida pela equação
no intervalo de
até
. Isso faz parte do cálculo de comprimentos de curvas, que é um tópico de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas retangulares e aplicar um pouco de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Então, nosso objetivo é encontrar
para a equação dada e depois substituir na fórmula.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação
para
:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do comprimento da curva:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos fatorar o termo comum dentro da raiz:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
. Alterando os limites de integração:
Quando
,
Quando ,
Quando
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando
:
Aplicando os limites de 13 a 22:
Passo 9
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
O comprimento da curva
de
a
é aproximadamente 2,08 unidades.
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Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.1) de
a
.
(17.1)
Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as
Calcule as seguintes integrais, sabendo que
é região limitada pelas curvas dadas:
e
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função