Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.4) de a .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem que encontrar o comprimento da curva definida pela equação no intervalo de até . Isso faz parte do cálculo de comprimentos de curvas, que é um tópico de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas retangulares e aplicar um pouco de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Então, nosso objetivo é encontrar para a equação dada e depois substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação para :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento da curva:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos fatorar o termo comum dentro da raiz:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, . Alterando os limites de integração:
Quando ,
Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando :
Aplicando os limites de 13 a 22:

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
Substituindo:

Resposta

O comprimento da curva de a é aproximadamente 2,08 unidades.

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