Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.1) de a .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o comprimento da curva definida pela função no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curvas em coordenadas retangulares, que faz parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois pontos e :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
Podemos simplificar essa fração:

Passo 7

Assim, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Vamos calcular nos limites:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraímos os valores:

Resposta

O comprimento da curva de a é igual a:

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Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
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Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(17.4) de a .
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