Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as integral duplaR(1-x^2-y^2) d x d y ; R=x >= 0, y >= 0, x=0, y=x, X^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma integral dupla para coordenadas polares e calcular o valor dela. O enunciado é:
integral duplaR(1 - x^2 - y^2) , dx , dy; R = x >= 0, , y >= 0, , x = 0, , y = x, , x^2 + y^2 = 1
Aqui, estamos lidando com cálculo em coordenadas polares, que facilita quando a região de integração tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas polares. As coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta são transformadas para dA = r , dr , dtheta usando:
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Isso porque na integral dupla, estamos somando pequenas áreas em forma de setores circulares.

Passo 3

Agora, precisamos entender a região em coordenadas polares. A região é definida por:
  • e : isso significa que estamos no primeiro quadrante.
  • : essa é a linha do eixo .
  • : essa é a reta que faz um ângulo de com os eixos.
  • : essa é a circunferência de raio 1.
Em coordenadas polares, a reta corresponde a , e a circunferência é . Então, nossos limites de integração são:
  • vai de a .
  • Para cada , vai de até .

Passo 4

Vamos agora reescrever a integral em coordenadas polares usando esses limites:
integral duplaR (1 - x^2 - y^2) , dx , dy = integral0^pi4 integral0^1 (1 - r^2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos integral0^1 (1 - r^2) cdot r , dr = integral0^1 (r - r^3) , dr por integral (r - r^3) , dr = r^22 - r^44 g|0^1 = (12 - 14) - (0 - 0) = 14 e integral0^pi4 14 , dtheta = 14 cdot theta g|0^pi4 = 14 cdot pi4 = pi16 por .
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral é .

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