Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma integral dupla para coordenadas polares e calcular o valor dela. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo em coordenadas polares, que facilita quando a região de integração tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas polares. As coordenadas cartesianas são transformadas para usando:
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Isso porque na integral dupla, estamos somando pequenas áreas em forma de setores circulares.
Passo 3
Agora, precisamos entender a região em coordenadas polares. A região é definida por:
e : isso significa que estamos no primeiro quadrante.
: essa é a linha do eixo .
: essa é a reta que faz um ângulo de com os eixos.
: essa é a circunferência de raio 1.
Em coordenadas polares, a reta corresponde a , e a circunferência é . Então, nossos limites de integração são:
vai de a .
Para cada , vai de até .
Passo 4
Vamos agora reescrever a integral em coordenadas polares usando esses limites:
Aqui, substituímos por e por .
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: