Calcule as seguintes integrais sabendo que
é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a)
, onde
é o sólido limitado pelos planos
,
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O problema pede para calcular a integral
, onde
é um sólido limitado pelos planos
,
,
e pelo paraboloide
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Precisamos entender os limites de integração e possivelmente mudar para coordenadas mais adequadas para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido
. Ele é limitado pelo paraboloide
debaixo e pelo plano horizontal
em cima. Além disso, está restrito aos planos
e
, o que significa que estamos lidando apenas com a parte do paraboloide no primeiro octante (onde
e
são positivos).
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a por estarmos no primeiro octante. -
varia de até o raio onde o paraboloide encontra o plano . Igualando a , temos , então vai de a . -
varia desde o paraboloide até o plano .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos distribuir
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 8
Calculando as integrais em
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Simplificando os coeficientes:
Calculando a última integral:
Resposta
Multiplicando tudo, temos:
Portanto, o valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções
e
. ( ) SIM () NÃO
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
(d)
Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo
com
:
. Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii)
.