Calcule as seguintes integrais sabendo que é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) , onde é o sólido limitado pelos planos ,
ó

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O problema pede para calcular a integral , onde é um sólido limitado pelos planos , , e pelo paraboloide . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Precisamos entender os limites de integração e possivelmente mudar para coordenadas mais adequadas para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . Ele é limitado pelo paraboloide debaixo e pelo plano horizontal em cima. Além disso, está restrito aos planos e , o que significa que estamos lidando apenas com a parte do paraboloide no primeiro octante (onde e são positivos).

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a por estarmos no primeiro octante.
  • varia de até o raio onde o paraboloide encontra o plano . Igualando a , temos , então vai de a .
  • varia desde o paraboloide até o plano .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos distribuir :
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Calculando as integrais em :
Substituindo de volta:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
Calculando a última integral:

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
Portanto, o valor da integral tripla é .

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Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções e . ( ) SIM () NÃO
Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
Calcule as seguintes integrais:
(b)
(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo com : . Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii) .