Calcule as seguintes integrais sabendo que S é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) integral triplaS x d x d y d z, onde S é o sólido limitado pelos planos x=0, y=0,
z=2 e pelos parabolóide z=x^2+y^2 ó

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O problema pede para calcular a integral , onde é um sólido limitado pelos planos , , e pelo paraboloide . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Precisamos entender os limites de integração e possivelmente mudar para coordenadas mais adequadas para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . Ele é limitado pelo paraboloide debaixo e pelo plano horizontal em cima. Além disso, está restrito aos planos e , o que significa que estamos lidando apenas com a parte do paraboloide no primeiro octante (onde e são positivos).

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a por estarmos no primeiro octante.
  • varia de até o raio onde o paraboloide encontra o plano . Igualando a , temos , então vai de a .
  • varia desde o paraboloide até o plano .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
integral triplaS x , dx , dy , dz = integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^2^2 (r cos theta) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^2^2 r^2 cos theta , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integralr^2^2 dz = 2 - r^2 :
integral0^pi2 integral0^raiz2 r^2 cos theta (2 - r^2) , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos distribuir integral0^pi2 integral0^raiz2 (2r^2 cos theta - r^4 cos theta) , dr , dtheta :
integral0^pi2 [ 2 cos theta integral0^raiz2 r^2 , dr - cos theta integral0^raiz2 r^4 , dr ] dtheta
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Calculando as integrais em integral0^raiz2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^raiz2 = (raiz2)^33 = 2raiz23 :
integral0^raiz2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^raiz2 = (raiz2)^55 = 4raiz25
integral0^pi2 ( 2 cos theta cdot 2raiz23 - cos theta cdot 4raiz25 ) dtheta = raiz2 integral0^pi2 ( 43 cos theta - 45 cos theta ) dtheta
Substituindo de volta:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
raiz2 integral0^pi2 ( 43 - 45 ) cos theta , dtheta = raiz2 cdot 815 integral0^pi2 cos theta , dtheta
Calculando a última integral:
integral0^pi2 cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^pi2 = 1 - 0 = 1

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
raiz2 cdot 815 cdot 1 = 8raiz215
Portanto, o valor da integral tripla é .

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