Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções
e
. ( ) SIM () NÃO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer um esboço e calcular a área da região onde as funções e
se interceptam. Isso envolve conhecimentos de Geometria Polar e Cálculo de Áreas. Vamos precisar desenhar os gráficos dessas funções e usar integrais para achar a área da região comum entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas funções se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por 4:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação . Sabemos que , então substituímos:
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Isso acontece quando
ou
.
Também temos que considerar quando
, ou seja,
ou
. Mas nesses casos, vamos verificar se as duas funções realmente se cruzam.
Passo 4
Agora que temos os valores de
onde as funções se intersectam, vamos fazer um esboço dos gráficos para visualizar melhor a região de interseção.
-
: Essa é uma rosa com 4 pétalas, pois o coeficiente de
dentro do seno é 2 (4 pétalas = 2 x 2). -
: Essa é uma circunferência deslocada do polo.
Ao desenhar, notamos que as interseções ocorrem nos ângulos
e
.
Passo 5
Para calcular a área da região de interseção, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares:
Precisamos determinar quais funções são externas e internas no intervalo de integração definido pelos pontos de interseção.
Passo 6
Analisando os gráficos, vemos que entre
e
, a função
está por fora da . Portanto:
- Função externa:
- Função interna:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da área:
Simplificando as expressões:
Podemos fatorar o 16 e tirar da integral:
Para integrar
e , usamos as identidades trigonométricas:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Simplificando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região de intersecção das funções é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
(d)
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta .
c) rotação em torno da reta
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) , onde
é o sólido limitado pelos planos
,
(a)
Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)