Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções e . ( ) SIM () NÃO

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer um esboço e calcular a área da região onde as funções e se interceptam. Isso envolve conhecimentos de Geometria Polar e Cálculo de Áreas. Vamos precisar desenhar os gráficos dessas funções e usar integrais para achar a área da região comum entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas funções se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por 4:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Sabemos que , então substituímos:
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Isso acontece quando ou .
Também temos que considerar quando , ou seja, ou . Mas nesses casos, vamos verificar se as duas funções realmente se cruzam.

Passo 4

Agora que temos os valores de onde as funções se intersectam, vamos fazer um esboço dos gráficos para visualizar melhor a região de interseção.
  • : Essa é uma rosa com 4 pétalas, pois o coeficiente de dentro do seno é 2 (4 pétalas = 2 x 2).
  • : Essa é uma circunferência deslocada do polo.
Ao desenhar, notamos que as interseções ocorrem nos ângulos e .

Passo 5

Para calcular a área da região de interseção, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares:
Precisamos determinar quais funções são externas e internas no intervalo de integração definido pelos pontos de interseção.

Passo 6

Analisando os gráficos, vemos que entre e , a função está por fora da . Portanto:
  • Função externa:
  • Função interna:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da área:
Simplificando as expressões:
Podemos fatorar o 16 e tirar da integral:
Para integrar e , usamos as identidades trigonométricas:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Simplificando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região de intersecção das funções é unidades de área.

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Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta .
Calcule as seguintes integrais sabendo que é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) , onde é o sólido limitado pelos planos ,
ó
Calcule as seguintes integrais:
(b)