Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando integrais triplas. O sólido que a gente precisa calcular o volume é limitado por duas superfícies dadas pelas equações e , além dos planos coordenados (que são os planos , e ). Vamos usar integrais para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido. Temos duas equações:
Vamos resolver essas equações para achar os limites de . Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso mostra que as duas superfícies se intersectam no plano .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites para em termos de e . Da primeira equação:
Da segunda equação:
Mas visto que (porque estamos limitados pelos planos coordenados), a segunda equação nos diz que . Porém, como é o ponto de interseção, podemos dizer que varia de 0 até .
Passo 4
Vamos determinar os limites para e . Observando que , temos:
Isso define uma região triangular no plano .
Então, para , ele varia de 0 até , e para , de 0 até 3.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla conforme a ordem dada: .
Os limites são:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral de dentro para fora.
Primeiro, integramos em relação a integral0^3 - x - y dx = x |0^3 - y - z = 3 - y - z :
integral0^3 integral0^3 - y (3 - y - z) dz , dy
Agora nossa integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^3 - y (3 - y - z) dz = (3 - y)z - z^22 |0^3 - y = (3 - y)(3 - y) - (3 - y)^22 = (3 - y)^22 :
integral0^3 (3 - y)^22 dy
Nossa integral agora é:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a 12 integral0^3 (3 - y)^2 dy :