Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando integrais triplas. O sólido que a gente precisa calcular o volume é limitado por duas superfícies dadas pelas equações e , além dos planos coordenados (que são os planos , e ). Vamos usar integrais para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido. Temos duas equações:
Vamos resolver essas equações para achar os limites de . Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso mostra que as duas superfícies se intersectam no plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os limites para em termos de e . Da primeira equação:
Da segunda equação:
Mas visto que (porque estamos limitados pelos planos coordenados), a segunda equação nos diz que . Porém, como é o ponto de interseção, podemos dizer que varia de 0 até .

Passo 4

Vamos determinar os limites para e . Observando que , temos:
Isso define uma região triangular no plano .
Então, para , ele varia de 0 até , e para , de 0 até 3.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla conforme a ordem dada: .
Os limites são:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral de dentro para fora.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora nossa integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Nossa integral agora é:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :
Vamos fazer uma substituição: , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
c) rotação em torno da reta .
Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
©
Faça um esboço e calcule a área da região de intersecção das funções e . ( ) SIM () NÃO
Calcule as seguintes integrais sabendo que é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) , onde é o sólido limitado pelos planos ,
ó