Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=3 e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(d) integral(integral(integral d x) d z) d y

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando integrais triplas. O sólido que a gente precisa calcular o volume é limitado por duas superfícies dadas pelas equações e , além dos planos coordenados (que são os planos , e ). Vamos usar integrais para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido. Temos duas equações:
  1. (x + y + z) - (x + y - z) = 3 - 3 2z = 0 z = 0
Vamos resolver essas equações para achar os limites de . Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso mostra que as duas superfícies se intersectam no plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os limites para z = 3 - x - y em termos de z = x + y - 3 e . Da primeira equação:
Da segunda equação:
Mas visto que (porque estamos limitados pelos planos coordenados), a segunda equação nos diz que . Porém, como é o ponto de interseção, podemos dizer que varia de 0 até .

Passo 4

Vamos determinar os limites para 3 - x - y >= 0 x + y <= 3 e . Observando que , temos:
Isso define uma região triangular no plano .
Então, para , ele varia de 0 até , e para , de 0 até 3.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla conforme a ordem dada: 0 <= x <= 3 - y 0 <= z <= 3 - x - y 0 <= y <= 3 .
Os limites são:
integral0^3 integral0^3 - y integral0^3 - x - y dx , dz , dy
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral de dentro para fora.
Primeiro, integramos em relação a integral0^3 - x - y dx = x |0^3 - y - z = 3 - y - z :
integral0^3 integral0^3 - y (3 - y - z) dz , dy
Agora nossa integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^3 - y (3 - y - z) dz = (3 - y)z - z^22 |0^3 - y = (3 - y)(3 - y) - (3 - y)^22 = (3 - y)^22 :
integral0^3 (3 - y)^22 dy
Nossa integral agora é:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a 12 integral0^3 (3 - y)^2 dy :
12 integral3^0 u^2 (-du) = 12 integral0^3 u^2 du = 12 [ u^33 ]0^3 = 12 ( 273 - 0 ) = 12 times 9 = 92
Vamos fazer uma substituição: , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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