(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo
com
:
. Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partes para resolver aqui. Primeiro, precisamos mostrar que para todo
com
, a desigualdade
é verdadeira. Depois, vamos calcular o limite fundamental
. Vamos precisar entender algumas propriedades trigonométricas e conceitos de limites para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar mostrando a desigualdade
. Para isso, imagine um ângulo
em um círculo unitário. A função seno representa a altura do ponto no círculo, e o cosseno representa a base.
Passo 3
Primeiro, sabemos que para
próximo de 0,
é aproximadamente igual a
. Mas queremos algo mais preciso. Usamos a seguinte relação trigonométrica:
Dividindo todos os termos por
(que é positivo para
), temos:
Tomando o inverso (lembre que inverter uma desigualdade reversa as relações):
Isso mostra a primeira parte da desigualdade que queríamos provar.
Passo 4
Agora, vamos para o limite
. Sabemos que para valores muito pequenos de
,
é quase igual a
, mas precisamos provar isso matematicamente.
Passo 5
Observando a desigualdade que mostramos:
Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Então, aplicando o Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), que diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
com
,
, e o limite fundamental é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) , onde
é o sólido limitado pelos planos
,
(a)
Calcule as seguintes integrais:
©
©
Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
e
cuja posição, no instante
, é dada por
. () SIM () NÃO