(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo x com |x| : cos (x). Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii) lim x 0 sen(x)x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partes para resolver aqui. Primeiro, precisamos mostrar que para todo com , a desigualdade é verdadeira. Depois, vamos calcular o limite fundamental . Vamos precisar entender algumas propriedades trigonométricas e conceitos de limites para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar mostrando a desigualdade . Para isso, imagine um ângulo em um círculo unitário. A função seno representa a altura do ponto no círculo, e o cosseno representa a base.

Passo 3

Primeiro, sabemos que para sin(x) < x < tan(x) próximo de 0, 1 < xsin(x) < 1cos(x) é aproximadamente igual a cos(x) < sin(x)x < 1 . Mas queremos algo mais preciso. Usamos a seguinte relação trigonométrica:
Dividindo todos os termos por (que é positivo para ), temos:
Tomando o inverso (lembre que inverter uma desigualdade reversa as relações):
Isso mostra a primeira parte da desigualdade que queríamos provar.

Passo 4

Agora, vamos para o limite . Sabemos que para valores muito pequenos de , é quase igual a , mas precisamos provar isso matematicamente.

Passo 5

Observando a desigualdade que mostramos:
cos(x) < sin(x)x < 1
Sabemos que quando limx to 0 sin(x)x = 1 se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, aplicando o Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), que diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite, concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo com , , e o limite fundamental é .

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