(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo com : . Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partes para resolver aqui. Primeiro, precisamos mostrar que para todo com , a desigualdade é verdadeira. Depois, vamos calcular o limite fundamental . Vamos precisar entender algumas propriedades trigonométricas e conceitos de limites para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar mostrando a desigualdade . Para isso, imagine um ângulo em um círculo unitário. A função seno representa a altura do ponto no círculo, e o cosseno representa a base.

Passo 3

Primeiro, sabemos que para próximo de 0, é aproximadamente igual a . Mas queremos algo mais preciso. Usamos a seguinte relação trigonométrica:
Dividindo todos os termos por (que é positivo para ), temos:
Tomando o inverso (lembre que inverter uma desigualdade reversa as relações):
Isso mostra a primeira parte da desigualdade que queríamos provar.

Passo 4

Agora, vamos para o limite . Sabemos que para valores muito pequenos de , é quase igual a , mas precisamos provar isso matematicamente.

Passo 5

Observando a desigualdade que mostramos:
Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, aplicando o Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), que diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite, concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo com , , e o limite fundamental é .

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Calcule as seguintes integrais:
(b)
Calcule as seguintes integrais sabendo que é um sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) , onde é o sólido limitado pelos planos ,
ó
Calcule as seguintes integrais:
©
Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos e cuja posição, no instante , é dada por
. () SIM () NÃO