Calcule as seguintes integrais por substituição:
integral0^pi / 2 e^sen(theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de 0 a π/2 de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Vamos escolher como substituição . A razão disso é que a derivada de é , que já está presente na nossa integral. Isso facilita bastante na resolução.

Passo 3

Agora, derivando du = cos(theta) , dtheta em relação a , temos:
Isso significa que pode ser substituído por na nossa integral. Além disso, precisamos ajustar os limites de integração para os novos limites em termos de .

Passo 4

Quando u = sen(0) = 0 :
E quando u = sen(pi2) = 1 :
Portanto, nossa integral agora fica:
integral0^1 e^u , du

Passo 5

Agora, integrar e^1 - e^0 = e - 1 em relação a é bem direto. A antiderivada de é . Então, avaliando entre 0 e 1:

Resposta

A integral vale .

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