Encontre
sabendo que
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar
sabendo que
e que
. Este problema está relacionado ao Cálculo Diferencial, especificamente à diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada de
e de
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo:
.
A derivada de
em relação a
é
, onde
. Portanto,
Aqui, usamos a regra da cadeia, lembrando que
porque
é uma função de
.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito:
.
Para isso, usamos a regra do produto, que diz que
, onde
e
.
Primeiro, derivamos
:
Em seguida, derivamos
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação original:
Passo 6
Vamos isolar
. Primeiro, distribuímos o
:
Agora, vamos reunir todos os termos com
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 7
Factoramos
no lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Podemos simplificar retirando o sinal negativo:
Resposta
A derivada
é dada por: