Encontre y'(x) sabendo que y = y(x) e cos(y+ x = x e^y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar sabendo que e que . Este problema está relacionado ao Cálculo Diferencial, especificamente à diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos calcular a derivada de e de em relação a .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo: .
A derivada de em relação a é , onde . Portanto,
Aqui, usamos a regra da cadeia, lembrando que porque é uma função de .

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito: .
Para isso, usamos a regra do produto, que diz que , onde e .
Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação original:

Passo 6

Vamos isolar . Primeiro, distribuímos o :
Agora, vamos reunir todos os termos com de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 7

Factoramos no lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :
Podemos simplificar retirando o sinal negativo:

Resposta

A derivada é dada por:

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