Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
é a superfície que envolve o cubo unitário
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes generalizado para integrais de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está sendo integrado. A expressão
é uma forma diferencial de 2ª ordem. Para integrar isso sobre a superfície
, podemos usar uma versão do Teorema de Stokes que relaciona a integral de uma forma diferencial sobre uma superfície com a integral de sua derivada sobre o volume limitado por essa superfície.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
onde
e
é o volume do cubo unitário.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada exterior de
, ou seja,
. Vamos fazer isso termo a termo:
Porque
, já que a derivada exterior de uma forma consigo mesma é zero.
Passo 5
Portanto, a derivada exterior total é:
Agora, a integral sobre o volume
é simplesmente:
Passo 6
Essa integral representa o volume do cubo unitário, que é:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
(d) , em que
(d)
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
;
Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo
Resolva as integrais: