Resolva os problemas de valor inicial:
(d) y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < 2; 1, para t >= 2 }

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A função é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para resolver essa equação, vamos usar transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções que mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
  • A transformada de é .
  • A transformada de é .
  • A transformada de é .
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, substituímos as condições iniciais e na equação:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 5

Precisamos calcular a transformada de Laplace de . A função é um degrau que muda de 0 para 1 em . Podemos representá-la usando a função de Heaviside .
A transformada de é . Então:

Passo 6

Substituímos na expressão de :
Vamos fatorar o denominador :
Então:

Passo 7

Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Laplace. Vamos separar em duas partes:
Assim, temos:

Passo 8

Vamos resolver a primeira transformada inversa:
Usamos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Encontrando os coeficientes:
Para :
Para :
Para :
Então:
Aplicando a transformada inversa:

Passo 9

Agora, resolvemos a segunda parte com o termo :
Sabemos que a transformada inversa de é , onde é a transformada inversa de . Então:

Passo 10

Finalmente, juntamos todas as partes para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados