Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
, em que
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para resolver essa equação, vamos usar transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções que mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
- A transformada de
é . - A transformada de
é . - A transformada de
é .
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, substituímos as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 5
Precisamos calcular a transformada de Laplace de
. A função
é um degrau que muda de 0 para 1 em
. Podemos representá-la usando a função de Heaviside
.
A transformada de
é
. Então:
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
Vamos fatorar o denominador
:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Vamos separar
em duas partes:
Assim, temos:
Passo 8
Vamos resolver a primeira transformada inversa:
Usamos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Encontrando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
Então:
Aplicando a transformada inversa:
Passo 9
Agora, resolvemos a segunda parte com o termo
:
Sabemos que a transformada inversa de
é
, onde
é a transformada inversa de
. Então:
Passo 10
Finalmente, juntamos todas as partes para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
;
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
, acima do plano
e dentro do cilindro
, esboçando a região de integração. Utilize coordenadas polares para resolver a integral que aparece ao tentar resolver o problema.
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
.
Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo