Resolva as integrais: integral 2 x e^x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 2x e^x^2 , dx. Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo, especificamente sobre integrais que envolvem funções exponenciais e técnicas de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Observando a integral integral 2x e^x^2 , dx, percebemos que temos o termo 2x multiplicando e^x^2. Isso sugere que podemos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 3

Vamos definir u = x^2. Essa escolha é estratégica porque a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x. Isso significa que 2x , dx = du. Com essa substituição, conseguimos simplificar a integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral 2x e^x^2 , dx = integral e^u , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral de e^u , du é simplesmente e^u + C, onde C é a constante de integração. Então:
integral e^u , du = e^u + C

Passo 6

Finalmente, substitu��mos u de volta por x^2:
e^u + C = e^x^2 + C

Resposta

A integral de 2x e^x^2 , dx é e^x^2 + C, onde C é a constante de integração.

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