Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo
y_n = n cos(n pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidirmos se a sequência é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao conteúdo de sequências e limites, especialmente sobre o comportamento das sequências conforme cresce. Vamos precisar entender como essa sequência se comporta à medida que aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da coseno na sequência: . Sabemos que o cosseno de múltiplos inteiros de tem padrões interessantes. Vamos ver alguns valores:
Perceba que . Isso significa que alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar.

Passo 3

Substituindo isso na nossa sequência original:
Então, nossa sequência fica assim:

Passo 4

Vamos entender o que isso significa para conforme cresce:
  • Quando é par, , então .
  • Quando é ímpar, , então .
Ou seja, a sequência oscila entre valores positivos e negativos que aumentam em magnitude à medida que cresce.

Passo 5

Agora, vamos pensar no que acontece quando tende ao infinito:
  • Se a sequência estivesse convergindo, os valores iriam se aproximar de um número específico.
  • No entanto, aqui os valores de estão indo para e alternadamente.
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum valor finito; ao contrário, está “explodindo” para cima e para baixo sem se estabilizar.

Resposta

A sequência é divergente.

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