Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidirmos se a sequência
é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao conteúdo de sequências e limites, especialmente sobre o comportamento das sequências conforme
cresce. Vamos precisar entender como essa sequência se comporta à medida que
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da coseno na sequência:
. Sabemos que o cosseno de múltiplos inteiros de
tem padrões interessantes. Vamos ver alguns valores:
Perceba que
. Isso significa que
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar.
Passo 3
Substituindo isso na nossa sequência original:
Então, nossa sequência fica assim:
Passo 4
Vamos entender o que isso significa para
conforme
cresce:
- Quando
é par, , então . - Quando
é ímpar, , então .
Ou seja, a sequência oscila entre valores positivos e negativos que aumentam em magnitude à medida que
cresce.
Passo 5
Agora, vamos pensar no que acontece quando
tende ao infinito:
- Se a sequência estivesse convergindo, os valores iriam se aproximar de um número específico.
- No entanto, aqui os valores de
estão indo para e alternadamente.
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum valor finito; ao contrário, está “explodindo” para cima e para baixo sem se estabilizar.
Resposta
A sequência
é divergente.
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Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
, onde
.
Resolva os problemas de valor inicial:
(d) , em que
(d)
Resolva as integrais:
Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo