Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS(x^2+y^2+z^2) d S, S é a esfera: x^2+y^2+z^2=rho^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral superficial da função sobre uma esfera definida por . Isso faz parte do cálculo multivariável, mais especificamente das integrais de superfícies. Para resolver, vamos usar algumas propriedades das esferas e entender como funciona uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que na esfera , a expressão sempre será igual a em qualquer ponto da superfície. Isso simplifica muito a nossa integral, porque podemos substituir a função inteira por .

Passo 3

Agora, a integral que queremos calcular fica assim:
integral duplaS (x^2 + y^2 + z^2) dS = integral duplaS rho^2 , dS
Como rho^2 integral duplaS dS é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Então, basicamente, precisamos calcular a área da superfície da esfera e multiplicar por .

Passo 4

A área de uma esfera é dada pela fórmula:
Área = 4pi rho^2 Á
Então, substituindo na nossa expressão:
rho^2 times 4pi rho^2 = 4pi rho^4

Resposta

A integral superficial é .

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