Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a esfera:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral superficial da função
sobre uma esfera definida por
. Isso faz parte do cálculo multivariável, mais especificamente das integrais de superfícies. Para resolver, vamos usar algumas propriedades das esferas e entender como funciona uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que na esfera
, a expressão
sempre será igual a
em qualquer ponto da superfície. Isso simplifica muito a nossa integral, porque podemos substituir a função inteira por
.
Passo 3
Agora, a integral que queremos calcular fica assim:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Então, basicamente, precisamos calcular a área da superfície da esfera e multiplicar por
.
Passo 4
A área de uma esfera é dada pela fórmula:
Então, substituindo na nossa expressão:
Resposta
A integral superficial é
.
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Calcule as seguintes integrais de superfícies:
. S é a esfera
e
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porşão da esfera
, compreendida entre os planos
e
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do plano
no primeiro octante.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a fronteira da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.