Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a esfera: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral superficial da função sobre uma esfera definida por . Isso faz parte do cálculo multivariável, mais especificamente das integrais de superfícies. Para resolver, vamos usar algumas propriedades das esferas e entender como funciona uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que na esfera , a expressão sempre será igual a em qualquer ponto da superfície. Isso simplifica muito a nossa integral, porque podemos substituir a função inteira por .

Passo 3

Agora, a integral que queremos calcular fica assim:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Então, basicamente, precisamos calcular a área da superfície da esfera e multiplicar por .

Passo 4

A área de uma esfera é dada pela fórmula:
Á
Então, substituindo na nossa expressão:

Resposta

A integral superficial é .

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