Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está no primeiro octante. Isso envolve o conteúdo de Cálculo de Superfícies, especificamente integrais de superfícies planas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície, determinar os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície . O plano é dado por , e está no primeiro octante, o que significa que , e são maiores ou iguais a zero. Podemos resolver essa equação para :
Passo 3
Vamos determinar a região de integração no plano . Como , temos que:
Então, a região de integração é o triângulo no plano delimitado por , e .
Passo 4
Agora, precisamos expressar o elemento de área da superfície . Para isso, usamos a fórmula: