Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do plano no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está no primeiro octante. Isso envolve o conteúdo de Cálculo de Superfícies, especificamente integrais de superfícies planas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície, determinar os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície . O plano é dado por , e está no primeiro octante, o que significa que , e são maiores ou iguais a zero. Podemos resolver essa equação para :

Passo 3

Vamos determinar a região de integração no plano . Como , temos que:
Então, a região de integração é o triângulo no plano delimitado por , e .

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de área da superfície . Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, podemos montar a integral de superfície:
Onde é a região triangular , , .

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Resposta

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Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a fronteira da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do plano no primeiro octante.