Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS x d S, S é a porção do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS x , dS, onde S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante. Isso envolve o conteúdo de Cálculo de Superfícies, especificamente integrais de superfícies planas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície, determinar os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície S. O plano é dado por x + y + z = 1, e está no primeiro octante, o que significa que x, y e z são maiores ou iguais a zero. Podemos resolver essa equação para z:
z = 1 - x - y

Passo 3

Vamos determinar a região de integração no plano xy. Como z >= 0, temos que:
1 - x - y >= 0 Rightarrow x + y <= 1
Então, a região de integração é o triângulo no plano xy delimitado por x = 0, y = 0 e x + y = 1.

Passo 4

Agora, precisamos expressar o elemento de área da superfície dS. Para isso, usamos a fórmula:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -1 partial zpartial y = -1
Substituindo na fórmula:
dS = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy

Passo 5

Agora, podemos montar a integral de superfície:
integral duplaS x , dS = integral duplaD x cdot raiz3 , dx , dy = raiz3 integral duplaD x , dx , dy
Onde D é a região triangular x >= 0, y >= 0, x + y <= 1.

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - x x , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^1 - x x , dy = x cdot y |0^1 - x = x(1 - x) - x(0) = x - x^2

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
raiz3 integral0^1 (x - x^2) , dx = raiz3 ( 12x^2 - 13x^3 |0^1 ) = raiz3 ( 12 - 13 ) = raiz3 ( 16 )

Resposta

raiz36

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