Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS(F bul<=t n) d S. S é a esfera x^2+y^2+z^2=rho^2, com x >= 0 e F=y j+z k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de superfície da forma integral duplaS(F bul<=t n) , dS, onde S é a esfera dada por x^2+y^2+z^2=rho^2 com x >= 0, e o campo vetorial é F=y j+z k. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente em Integrais de Superfície. Vamos precisar entender como encontrar o vetor normal à superfície e calcular o produto escalar com o campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície S. Para uma esfera de raio rho, o vetor normal n em cada ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio. Então:
n = 1rho(x i + y j + z k)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar F bul<=t n:
F bul<=t n = y cdot yrho + z cdot zrho = y^2 + z^2rho
Mas, na esfera, sabemos que:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2 Rightarrow y^2 + z^2 = rho^2 - x^2
Então:
F bul<=t n = rho^2 - x^2rho = rho - x^2rho

Passo 4

Vamos agora expressar a integral de superfície. A integral fica:
integral duplaS ( rho - x^2rho ) dS = rho integral duplaS dS - 1rho integral duplaS x^2 dS
Primeiro, calculamos a área da superfície S. Como S é uma hemisfera (pois x >= 0), a área é metade da área da esfera completa.
integral duplaS dS = 2pi rho^2

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral duplaS x^2 dS. Em uma esfera, a média de x^2 é rho^23. Então:
integral duplaS x^2 dS = rho^23 times 2pi rho^2 = 2pi rho^43

Resposta

Substituindo os valores na integral original:
rho times 2pi rho^2 - 1rho times 2pi rho^43 = 2pi rho^3 - 2pi rho^33 = 4pi rho^33
Portanto, o valor da integral de superfície é boxeddfrac43pi rho^3.

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