Calcule as seguintes integrais de superfícies:
. S é a esfera
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de superfície da forma
, onde
é a esfera dada por
com
, e o campo vetorial é
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente em Integrais de Superfície. Vamos precisar entender como encontrar o vetor normal à superfície e calcular o produto escalar com o campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície
. Para uma esfera de raio
, o vetor normal
em cada ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Mas, na esfera, sabemos que:
Então:
Passo 4
Vamos agora expressar a integral de superfície. A integral fica:
Primeiro, calculamos a área da superfície
. Como
é uma hemisfera (pois
), a área é metade da área da esfera completa.
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Em uma esfera, a média de
é
. Então:
Resposta
Substituindo os valores na integral original:
Portanto, o valor da integral de superfície é
.