Calcule as seguintes integrais de superfícies: . S é a esfera e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de superfície da forma , onde é a esfera dada por com , e o campo vetorial é . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente em Integrais de Superfície. Vamos precisar entender como encontrar o vetor normal à superfície e calcular o produto escalar com o campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Para uma esfera de raio , o vetor normal em cada ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo raio. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Mas, na esfera, sabemos que:
Então:

Passo 4

Vamos agora expressar a integral de superfície. A integral fica:
Primeiro, calculamos a área da superfície . Como é uma hemisfera (pois ), a área é metade da área da esfera completa.

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Em uma esfera, a média de é . Então:

Resposta

Substituindo os valores na integral original:
Portanto, o valor da integral de superfície é .

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Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porşão da esfera , compreendida entre os planos e .
Calcule a área da superfície em cada caso: é o triângulo com vértices e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a esfera: .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do plano no primeiro octante.