Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a fronteira da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de superfície! O enunciado pede para calcular
, onde
é a fronteira da região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de superfície e parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. Temos um cilindro circular de raio 1, dado por
, que se estende entre os planos
(o plano xy) e
. A superfície
é composta por três partes: a base inferior no plano
, a base superior no plano
e a superfície lateral do cilindro.
Passo 3
Vamos dividir a integral de superfície em três partes correspondentes às três superfícies que compõem
:
-
: Base inferior ( ) -
: Base superior ( ) -
: Superfície lateral do cilindro
Assim, a integral total será a soma das integrais sobre cada uma dessas superfícies:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para
(base inferior,
):
Neste caso,
é constante e igual a 0. A normal à superfície aponta para baixo, mas como a integral envolve apenas
, precisamos parametrizar a superfície. Usando coordenadas polares:
Portanto, a integral fica:
Porque a integral de
de 0 a
é zero.
Passo 5
Para
(base superior,
):
Aqui,
varia com
. A parametrização em coordenadas polares fica:
A área diferencial
para uma superfície dada por
é:
Calculando as derivadas:
A integral fica:
Novamente, a integral de
de 0 a
é zero.
Passo 6
Para
(superfície lateral do cilindro):
Aqui, a superfície é o cilindro
, entre
e
. Vamos parametrizar usando
e
:
A área diferencial
para um cilindro é:
Como
não depende de
:
A integral fica:
Separando as integrais:
Sabemos que
. E
. Portanto:
Resposta
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Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do plano
no primeiro octante.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a esfera:
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do plano
no primeiro octante.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano
.