Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a fronteira da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de superfície! O enunciado pede para calcular , onde é a fronteira da região limitada pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de superfície e parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. Temos um cilindro circular de raio 1, dado por , que se estende entre os planos (o plano xy) e . A superfície é composta por três partes: a base inferior no plano , a base superior no plano e a superfície lateral do cilindro.

Passo 3

Vamos dividir a integral de superfície em três partes correspondentes às três superfícies que compõem :
  1. : Base inferior ( )
  2. : Base superior ( )
  3. : Superfície lateral do cilindro
Assim, a integral total será a soma das integrais sobre cada uma dessas superfícies:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para (base inferior, ):
Neste caso, é constante e igual a 0. A normal à superfície aponta para baixo, mas como a integral envolve apenas , precisamos parametrizar a superfície. Usando coordenadas polares:
Portanto, a integral fica:
Porque a integral de de 0 a é zero.

Passo 5

Para (base superior, ):
Aqui, varia com . A parametrização em coordenadas polares fica:
A área diferencial para uma superfície dada por é:
Calculando as derivadas:
A integral fica:
Novamente, a integral de de 0 a é zero.

Passo 6

Para (superfície lateral do cilindro):
Aqui, a superfície é o cilindro , entre e . Vamos parametrizar usando e :
A área diferencial para um cilindro é:
Como não depende de :
A integral fica:
Separando as integrais:
Sabemos que . E . Portanto:

Resposta

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