Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS x d S, S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de superfície! O enunciado pede para calcular , onde é a fronteira da região limitada pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de superfície e parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. Temos um cilindro circular de raio 1, dado por , que se estende entre os planos (o plano xy) e . A superfície é composta por três partes: a base inferior no plano , a base superior no plano e a superfície lateral do cilindro.

Passo 3

Vamos dividir a integral de superfície em três partes correspondentes às três superfícies que compõem integral duplaS x , dS = integral duplaS1 x , dS + integral duplaS2 x , dS + integral duplaS3 x , dS :
  1. : Base inferior ( )
  2. : Base superior ( )
  3. : Superfície lateral do cilindro
Assim, a integral total será a soma das integrais sobre cada uma dessas superfícies:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para x = r costheta, y = r sintheta, z = 0 (base inferior, dS = r , dr , dtheta ):
Neste caso, integral duplaS1 x , dS = integral0^2pi integral0^1 (r costheta) , r , dr , dtheta = integral0^2pi costheta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta é constante e igual a 0. A normal à superfície aponta para baixo, mas como a integral envolve apenas = integral0^2pi costheta [ r^33 ]0^1 dtheta = 13 integral0^2pi costheta , dtheta = 0 , precisamos parametrizar a superfície. Usando coordenadas polares:
Portanto, a integral fica:
Porque a integral de de 0 a é zero.

Passo 5

Para x = r costheta, y = r sintheta, z = r costheta + 2 (base superior, dS = raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy ):
Aqui, partial zpartial x = 1, partial zpartial y = 0 varia com dS = raiz1 + 1 + 0 , dx , dy = raiz2 , dx , dy = raiz2 , r , dr , dtheta . A parametrização em coordenadas polares fica:
integral duplaS2 x , dS = integral0^2pi integral0^1 (r costheta) cdot raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi costheta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta
A área diferencial = raiz2 cdot 13 integral0^2pi costheta , dtheta = 0 para uma superfície dada por é:
Calculando as derivadas:
A integral fica:
Novamente, a integral de de 0 a é zero.

Passo 6

Para x = costheta, y = sintheta, z in [0, costheta + 2] (superfície lateral do cilindro):
Aqui, a superfície é o cilindro dS = raiz( partial xpartial theta )^2 + ( partial ypartial theta )^2 + ( partial zpartial theta )^2 , dtheta , dz , entre partial xpartial theta = -sintheta, partial ypartial theta = costheta, partial zpartial theta = 0 e dS = raiz(-sintheta)^2 + (costheta)^2 + 0 , dtheta , dz = raizsin^2theta + cos^2theta , dtheta , dz = 1 cdot dtheta , dz . Vamos parametrizar usando integral duplaS3 x , dS = integral0^2pi integral0^costheta + 2 costheta , dz , dtheta = integral0^2pi costheta (costheta + 2) , dtheta e = integral0^2pi (cos^2theta + 2costheta) , dtheta :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta + 2 integral0^2pi costheta , dtheta
A área diferencial integral duplaS3 x , dS = pi + 0 = pi para um cilindro é:
Como não depende de :
A integral fica:
Separando as integrais:
Sabemos que . E . Portanto:

Resposta

integral duplaS x , dS = pi

Exercícios relacionados