Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do plano , interna ao cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está dentro do cilindro . Basicamente, estamos lidando com cálculo de integrais de superfícies, e vamos precisar entender como parametrizar a superfície e expressar o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é definida pelo plano e está limitada pelo cilindro . Isso significa que estamos considerando apenas a parte do plano que está dentro do cilindro. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, já que o domínio de integração é circular.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície . Em coordenadas cartesianas, . Mas em coordenadas polares, onde e , a equação do plano fica . Assim, podemos expressar os parâmetros como:
onde e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos os vetores tangentes da parametrização:
O produto vetorial nos dá uma vetor perpendicular à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Essa integral em pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, reconhecemos que a função é periódica e podemos usar técnicas de integração avançada. O resultado dessa integral é .

Resposta

Portanto, a integral de superfície é:

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