Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do plano
, interna ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Basicamente, estamos lidando com cálculo de integrais de superfícies, e vamos precisar entender como parametrizar a superfície e expressar o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é definida pelo plano
e está limitada pelo cilindro
. Isso significa que estamos considerando apenas a parte do plano que está dentro do cilindro. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, já que o domínio de integração é circular.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície
. Em coordenadas cartesianas,
. Mas em coordenadas polares, onde
e
, a equação do plano fica
. Assim, podemos expressar os parâmetros como:
onde
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
. Para isso, calculamos os vetores tangentes da parametrização:
O produto vetorial
nos dá uma vetor perpendicular à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área
:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Essa integral em
pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, reconhecemos que a função é periódica e podemos usar técnicas de integração avançada. O resultado dessa integral é
.
Resposta
Portanto, a integral de superfície é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do cilindro
e
.
Deduza as fórmulas para as áreas de um cone e de um cilindro (circular reto) de raio
e altura
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do cilindro
, situada no primeiro octante, entre os planos
e
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.