Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS x zy d S, S é a porsão do cilindro x=y^2, situada no primeiro octante, entre os planos z=0, z=5, y=1 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície, especificamente . A superfície é parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas), e está limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a superfície r(y, z) = ( y^2, y, z ) . Como , podemos usar e como variáveis livres. Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 1 a 4 e varia de 0 a 5.

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto cruzado das derivadas parciais de partial rpartial y = ( 2y, 1, 0 ) em relação a partial rpartial z = ( 0, 0, 1 ) e partial rpartial y times partial rpartial z = i & j & k 2y & 1 & 0 0 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(2y cdot 1 - 0 cdot 0) + k(2y cdot 0 - 1 cdot 0) = (1, -2y, 0) . Vamos calcular essas derivadas:
Agora, calculamos o produto cruzado:
O módulo desse vetor é .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral de superfície na parametrização escolhida. A integral fica:
integral duplaS x zy , dS = integraly=1^4 integralz=0^5 y^2 zy raiz1 + 4y^2 , dz , dy
Simplificando a expressão dentro da integral:
y^2 zy = y z
Então, a integral se torna:
integral1^4 integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz = y raiz1 + 4y^2 integral0^5 z , dz = y raiz1 + 4y^2 [ z^22 ]0^5 = y raiz1 + 4y^2 cdot 252 :
252 integral1^4 y raiz1 + 4y^2 , dy
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Para resolver a integral u = 1 + 4y^2 Rightarrow du = 8y , dy Rightarrow du8 = y , dy , fazemos uma substituição:
integral y raiz1 + 4y^2 , dy = 18 integral raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Substituindo na integral:
112 (1 + 4y^2)^3/2
Voltando para 252 cdot 112 [ (1 + 4y^2)^3/2 ]1^4 = 2524 [ (1 + 4(4)^2)^3/2 - (1 + 4(1)^2)^3/2 ] :
1 + 4(16) = 65 e 1 + 4(1) = 5
Portanto, a integral fica:
2524 ( 65^3/2 - 5^3/2 )
Calculando os valores:
Então:

Passo 7

Calculando finalmente:
65^3/2 = raiz65^3 approx 65 times 8.0623 approx 524.06
5^3/2 = raiz5^3 approx 5 times 2.2361 approx 11.18
Substituindo:
2524 (524.06 - 11.18) = 2524 times 512.88 approx 2524 times 512.88 approx 533.7

Resposta

A integral de superfície vale aproximadamente .

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