Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície, especificamente . A superfície é parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas), e está limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de superfície e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a superfície . Como , podemos usar e como variáveis livres. Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 1 a 4 e varia de 0 a 5.
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto cruzado das derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular essas derivadas:
Agora, calculamos o produto cruzado:
O módulo desse vetor é .
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral de superfície na parametrização escolhida. A integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Para resolver a integral , fazemos uma substituição: