Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície, especificamente . A superfície é parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas), e está limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a superfície . Como , podemos usar e como variáveis livres. Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 1 a 4 e varia de 0 a 5.

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto cruzado das derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular essas derivadas:
Agora, calculamos o produto cruzado:
O módulo desse vetor é .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral de superfície na parametrização escolhida. A integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Para resolver a integral , fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Voltando para :
Portanto, a integral fica:
Calculando os valores:
Então:

Passo 7

Calculando finalmente:
Substituindo:

Resposta

A integral de superfície vale aproximadamente .

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Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do plano , interna ao cilindro .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro e .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .