Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície, especificamente . A superfície é parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas), e está limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de superfície e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a superfície . Como , podemos usar e como variáveis livres. Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 1 a 4 e varia de 0 a 5.
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular o vetor normal à superfície, que é dado pelo produto cruzado das derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular essas derivadas:
Agora, calculamos o produto cruzado:
O módulo desse vetor é .
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral de superfície na parametrização escolhida. A integral fica:
integral duplaS x zy , dS = integraly=1^4 integralz=0^5 y^2 zy raiz1 + 4y^2 , dz , dy
Simplificando a expressão dentro da integral:
y^2 zy = y z
Então, a integral se torna:
integral1^4 integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz , dy
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz = y raiz1 + 4y^2 integral0^5 z , dz = y raiz1 + 4y^2 [ z^22 ]0^5 = y raiz1 + 4y^2 cdot 252 :
252 integral1^4 y raiz1 + 4y^2 , dy
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Para resolver a integral u = 1 + 4y^2 Rightarrow du = 8y , dy Rightarrow du8 = y , dy , fazemos uma substituição:
integral y raiz1 + 4y^2 , dy = 18 integral raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C