Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do plano no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é a porção do plano no primeiro octante. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar o plano e encontrar os limites de integração no primeiro octante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas , e são positivas. Então, queremos a parte do plano onde , e .

Passo 3

Vamos resolver a equação do plano para em termos de e :
Isso vai nos ajudar a parametrizar o plano em função de e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área para o plano. Para um plano dado por , o elemento de área é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração no plano . Como estamos no primeiro octante e :
Isso define uma região triangular no plano com vértices em , e .

Passo 6

Expressamos a integral de superfície em termos de e :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 3:
Substituindo :
Substituindo dá 0, então a integral total é 5.

Resposta

A integral de superfície vale .

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Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide .