Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS(x+y) d S, S é a porção do plano 2 x+3 y+z=6 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é a porção do plano no primeiro octante. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar o plano e encontrar os limites de integração no primeiro octante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas , e são positivas. Então, queremos a parte do plano onde , e .

Passo 3

Vamos resolver a equação do plano para z = 6 - 2x - 3y em termos de e :
Isso vai nos ajudar a parametrizar o plano em função de e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy para o plano. Para um plano dado por partial zpartial x = -2 e partial zpartial y = -3 , o elemento de área é:
dS = raiz(-2)^2 + (-3)^2 + 1 , dx , dy = raiz4 + 9 + 1 , dx , dy = raiz14 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração no plano 6 - 2x - 3y >= 0 implies 2x + 3y <= 6 . Como estamos no primeiro octante e :
Isso define uma região triangular no plano com vértices em , e .

Passo 6

Expressamos a integral de superfície em termos de integral duplaS (x + y) , dS = raiz14 integral0^3 integral0^6 - 2x3 (x + y) , dy , dx e :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^6 - 2x3 (x + y) , dy = integral0^6 - 2x3 x , dy + integral0^6 - 2x3 y , dy = x [ y ]0^6 - 2x3 + [ y^22 ]0^6 - 2x3 :
= x ( 6 - 2x3 ) + ( 6 - 2x3 )^22 = 6x - 2x^23 + (36 - 24x + 4x^2)18 = 2x - 23x^2 + 2 - 43x + 29x^2
Substituindo os limites:
= 2 + 2x3 - 49x^2
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a integral0^3 ( 2 + 2x3 - 4x^29 ) dx = [ 2x + x^23 - 4x^327 ]0^3 de 0 a 3:
2(3) + 93 - 4 cdot 2727 = 6 + 3 - 4 = 5
Substituindo :
Substituindo dá 0, então a integral total é 5.

Resposta

A integral de superfície vale .

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