Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do plano
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a porção do plano
no primeiro octante. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar o plano e encontrar os limites de integração no primeiro octante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas
,
e
são positivas. Então, queremos a parte do plano
onde
,
e
.
Passo 3
Vamos resolver a equação do plano para
em termos de
e
:
Isso vai nos ajudar a parametrizar o plano em função de
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
para o plano. Para um plano dado por
, o elemento de área é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração no plano
. Como estamos no primeiro octante e
:
Isso define uma região triangular no plano
com vértices em
,
e
.
Passo 6
Expressamos a integral de superfície em termos de
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 3:
Substituindo
:
Substituindo
dá 0, então a integral total é 5.
Resposta
A integral de superfície vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a fronteira da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do plano
no primeiro octante.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano
.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide
.