Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma representação paramétrica para a superfície definida pelo plano . Isso está ligado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente à representação de superfícies no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são representações paramétricas e como aplicá-las a planos.

Passo 2

Primeiro, o que é uma representação paramétrica? Simplificando, é uma forma de descrever uma superfície usando parâmetros, geralmente duas variáveis, que a gente escolhe livremente. No caso de um plano, a gente pode usar dois parâmetros, como e , para expressar as três coordenadas , e .

Passo 3

Vamos escolher dois parâmetros, digamos e . Esses parâmetros vão representar direções no plano. Precisamos expressar duas das variáveis em termos desses parâmetros e resolver para a terceira usando a equação do plano.
Por exemplo, podemos escolher e . Agora, substituímos esses valores na equação do plano para encontrar :

Passo 4

Agora, juntando tudo, nossa representação paramétrica fica:
Onde e são parâmetros que podem variar livremente.

Resposta

A representação paramétrica do plano é:

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Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O paraboloide hiperbólico .