Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide .
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente encontrar uma representação paramétrica do paraboloide dado por . Isso está na área de geometria analítica, onde estudamos superfícies no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar entender como expressar as coordenadas , e usando parâmetros, geralmente representados por e .
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os parâmetros que vão nos ajudar a descrever toda a superfície. Uma estratégia comum é deixar dois dos eixos como parâmetros livres. Aqui, vamos usar para representar e para representar .
Passo 3
Com isso, definimos:
Essas duas equações dizem que e variam livremente conforme os valores de e .
Passo 4
Agora, precisamos expressar em termos desses parâmetros. Sabemos que no paraboloide . Como , substituímos:
Isso nos dá a terceira coordenada em termos do parâmetro .
Passo 5
Juntando tudo, temos a representação paramétrica completa do paraboloide:
onde e são parâmetros reais que podem variar livremente.