Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide .

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente encontrar uma representação paramétrica do paraboloide dado por . Isso está na área de geometria analítica, onde estudamos superfícies no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar entender como expressar as coordenadas , e usando parâmetros, geralmente representados por e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os parâmetros que vão nos ajudar a descrever toda a superfície. Uma estratégia comum é deixar dois dos eixos como parâmetros livres. Aqui, vamos usar para representar e para representar .

Passo 3

Com isso, definimos:
Essas duas equações dizem que e variam livremente conforme os valores de e .

Passo 4

Agora, precisamos expressar em termos desses parâmetros. Sabemos que no paraboloide . Como , substituímos:
Isso nos dá a terceira coordenada em termos do parâmetro .

Passo 5

Juntando tudo, temos a representação paramétrica completa do paraboloide:
onde e são parâmetros reais que podem variar livremente.

Resposta

A representação paramétrica do paraboloide é:
onde e são parâmetros reais.

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