Calcule as seguintes integrais trigonométricas
(d) integral sec ^3(theta) d theta

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a integral de . Esse é um tipo de integral trigonométrica que envolve potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Essa fórmula é útil quando a integral original pode ser dividida em duas partes, e , de forma que a integral resultante seja mais simples.

Passo 3

Vamos escolher as partes para aplicar a integração por partes. Deixamos:
u = sec(theta), dv = sec^2(theta) , dtheta
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddtheta sec(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) , dtheta :
v = integral sec^2(theta) , dtheta = tan(theta)
E calculando :
Isso porque a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral sec^3(theta) , dtheta = u , v - integral v , du = sec(theta) tan(theta) - integral tan(theta) cdot sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando a integral que ficou:
integral sec(theta) tan^2(theta) , dtheta

Passo 6

Sabemos que integral sec(theta) tan^2(theta) , dtheta = integral sec(theta) (sec^2(theta) - 1) , dtheta = integral sec^3(theta) , dtheta - integral sec(theta) , dtheta . Substituindo na integral:
Agora, temos a nossa própria integral no lado direito, o que vamos resolver.

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
integral sec^3(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) - ( integral sec^3(theta) , dtheta - integral sec(theta) , dtheta )
Simplificando:
integral sec^3(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) - integral sec^3(theta) , dtheta + integral sec(theta) , dtheta
Adicionando 2 integral sec^3(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) + integral sec(theta) , dtheta em ambos os lados:

Passo 8

Sabemos que:
integral sec(theta) , dtheta = ln |sec(theta) + tan(theta)| + C
Onde 2 integral sec^3(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) + ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é a constante de integração. Substituindo na equação:

Passo 9

Agora, isolando a integral:
integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| + C

Resposta

integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| + C

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