Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(a) f(x) = 4x - 3 em p = 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que faz parte do estudo de limites e continuidade em matemática. Vamos precisar entender a definição de continuidade e como aplicar a definição de limite para mostrar que a função não tem saltos ou interrupções nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em outras palavras:

Passo 3

Vamos calcular onde :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 2:
Como é uma função linear (uma reta), sabemos que o limite dela quando se aproxima de qualquer valor é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto:

Passo 5

Comparando os resultados, vimos que:
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de 2 é igual ao valor da função no ponto 2.

Resposta

Portanto, usando a definição formal de limite, provamos que a função é contínua no ponto .

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(d) integral sec ^3(theta) d theta
Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência
& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots
Determine a para que a função dada seja contínua:
(f) f(x) = { (x^3 - 8) / (x - 2) se x != 2, a se x = 2 }.