Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(a)
em
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que faz parte do estudo de limites e continuidade em matemática. Vamos precisar entender a definição de continuidade e como aplicar a definição de limite para mostrar que a função não tem saltos ou interrupções nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em outras palavras:
Passo 3
Vamos calcular
onde
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Como
é uma função linear (uma reta), sabemos que o limite dela quando
se aproxima de qualquer valor é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto:
Passo 5
Comparando os resultados, vimos que:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual ao valor da função no ponto 2.
Resposta
Portanto, usando a definição formal de limite, provamos que a função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule se existir:
.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas
(d)
(d)
Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência
Determine
para que a função dada seja contínua:
(f) .
(f)