Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral x cdot sen(3 x) d x

Passo 1

Estamos com uma integral indefinida para resolver: . Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da função será e qual será .

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que a segunda integral seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sen(3x) , dx Rightarrow v = -13 cos(3x)
Explicação: Derivamos para encontrar e integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sen(3x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:
= x cdot (-13 cos(3x)) - integral (-13 cos(3x)) , dx

Passo 5

Simplificando:
= -x3 cos(3x) + 13 integral cos(3x) , dx
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 6

Integrando integral cos(3x) , dx = 13 sen(3x) + C :
Explicação: A integral de é .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
= -x3 cos(3x) + 13 cdot 13 sen(3x) + C
= -x3 cos(3x) + 19 sen(3x) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x cdot sen(3x) , dx = -x3 cos(3x) + 19 sen(3x) + C

Exercícios relacionados